Biết $a,b$ là các số thực sao cho ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}=a{{.10}^{3z}}+b{{.10}^{2z}},$ đồng thời $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $\log \left(...

(VDC) - Phương trình mũ và phương trình lôgarit
Cách giải:
Theo bài ra ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \log \left( x+y \right)=z \\
& \log \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=z+1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x+y={{10}^{z}} \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{10.10}^{x}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=10\left( x+y \right).$
Khi đó ta có:
${{x}^{3}}+{{y}^{3}}=a{{.10}^{3x}}+b{{.10}^{2z}}$
$\Leftrightarrow \left( x+y \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy \right)=a.{{\left( {{10}^{z}} \right)}^{3}}+b.{{\left( {{10}^{z}} \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow \left( x+y \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy \right)=a.{{\left( x+y \right)}^{3}}+b{{\left( x+y \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy=a{{\left( x+y \right)}^{2}}+b\left( x+y \right)$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy=a\left( {{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}} \right)+b.\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{10}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy=\left( a+\dfrac{b}{10} \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)+2axy$
Đồng nhất hệ số ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& 1=a+\dfrac{b}{10} \\
& -1=2a \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{1}{2} \\
& b=15 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}=4+\dfrac{1}{225}=\dfrac{901}{225}\approx 4,004\in \left( 4;5 \right).$