Google
Câu hỏi: Biến đổi tích phân $\int\limits_{0}^{3}{\dfrac{x}{1+\sqrt{1+x}}\text{d}x}$ thành tích phân $\int\limits_{1}^{2}{f\left( t \right)\text{d}t}$ với $t=\sqrt{1+x}$. Khi đó $f\left( t \right)$ là hàm số nào trong các hàm số sau?
A. $f\left( t \right)={{t}^{2}}-t\cdot $
B. $f\left( t \right)={{t}^{2}}+t\cdot $
C. $f\left( t \right)=2{{t}^{2}}-2t\cdot $
D. $f\left( t \right)=2{{t}^{2}}+2t\cdot $
A. $f\left( t \right)={{t}^{2}}-t\cdot $
B. $f\left( t \right)={{t}^{2}}+t\cdot $
C. $f\left( t \right)=2{{t}^{2}}-2t\cdot $
D. $f\left( t \right)=2{{t}^{2}}+2t\cdot $
Đặt $t=\sqrt{1+x}$ $\Rightarrow \operatorname{d}t=\dfrac{1}{2\sqrt{1+x}}\text{d}x=\dfrac{1}{2t}\text{d}x$.
Suy ra $x={{t}^{2}}-1$ và $\text{d}x=2t\text{d}t$.
Đổi cận $\left\{ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow t=1 \\
& x=3\Rightarrow t=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó, ta có $\int\limits_{0}^{3}{\dfrac{x}{1+\sqrt{1+x}}\text{d}x}=\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{{{t}^{2}}-1}{1+t}.2t\text{d}t}=\int\limits_{1}^{2}{\left( t-1 \right)\text{.2td}t}=\int\limits_{1}^{2}{\left( 2{{t}^{2}}-2t \right)\text{d}t}$.
Vậy $f\left( t \right)=2{{t}^{2}}-2t\cdot $
Suy ra $x={{t}^{2}}-1$ và $\text{d}x=2t\text{d}t$.
Đổi cận $\left\{ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow t=1 \\
& x=3\Rightarrow t=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó, ta có $\int\limits_{0}^{3}{\dfrac{x}{1+\sqrt{1+x}}\text{d}x}=\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{{{t}^{2}}-1}{1+t}.2t\text{d}t}=\int\limits_{1}^{2}{\left( t-1 \right)\text{.2td}t}=\int\limits_{1}^{2}{\left( 2{{t}^{2}}-2t \right)\text{d}t}$.
Vậy $f\left( t \right)=2{{t}^{2}}-2t\cdot $
Đáp án C.