Bất phương trình ${{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-x-2 \right)\ge {{\log }_{0,5}}\left( x-1 \right)+1$ có bao nhiêu nghiệm nguyên thuộc $\left[...

Phương pháp:
- Đưa về cùng cơ số.
- Sử dụng công thức ${{\log }_{a}}f\left( x \right)+{{\log }_{a}}g\left( x \right)={{\log }_{a}}\left[ f\left( x \right)g\left( x \right) \right]\left( 0<a\ne 1,f\left( x \right),g\left( x \right)>0 \right).$
- Giải bất phương trình logarit: ${{\log }_{a}}f\left( x \right)\ge b\Leftrightarrow f\left( x \right)\ge {{a}^{b}}\left( a>1 \right).$
Cách giải:
${{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-x-2 \right)\ge {{\log }_{0,5}}\left( x-1 \right)+1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-x-2 \right)\ge -{{\log }_{2}}\left( x-1 \right)+1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-x-2 \right)+{{\log }_{2}}\left( x-1 \right)\ge +1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-x-2 \right)\left( x-1 \right)\ge 1$
$\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-x-2 \right)\left( x-1 \right)\ge 2$
$\Leftrightarrow {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-2x-{{x}^{2}}+x+2\ge 2$
$\Leftrightarrow {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x\ge 0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 1-\sqrt{2}\le x\le 0 \\
& x\ge 1+\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$
Kết hợp điều kiện đề bài $x\in \left[ 0;2021 \right],x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x\in \left\{ 0;3;4;5;...;2021 \right\}$
Vậy bất phương trình đã cho có 2020 nghiệm nguyên thỏa mãn.