Bất phương trình ${{\log }_{2}}\left(-{{x}^{2}}+4x-1 \right)>{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left(\frac{1}{x-1} \right)$ có tập nghiệm là khoảng $\left(a...

Điều kiện $\left\{ \begin{aligned}
& -{{x}^{2}}+4x-1>0 \\
& x-1>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2-\sqrt{3}<x<2+\sqrt{3} \\
& x>1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 1<x<2+\sqrt{3}$.
Khi đó bất phương trình ${{\log }_{2}}\left(-{{x}^{2}}+4x-1 \right)>{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left(\frac{1}{x-1} \right)\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left(-{{x}^{2}}+4x-1 \right)>{{\log }_{\frac{1}{2}}}1-{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left(x-1 \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left(-{{x}^{2}}+4x-1 \right)>{{\log }_{2}}\left(x-1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x-1>0 \\
& -{{x}^{2}}+4x-1>x-1 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x-1>0 \\
& -{{x}^{2}}+3x>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>1 \\
& 0<x<3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 1<x<3$.
Vậy $\left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 2b-a=5$.