Bất phương trình ${{4}^{x}}-m{{.2}^{x}}+1>0$ nghiệm đúng với mọi...

Phương pháp:
- Đặt ẩn phụ $t={{2}^{x}}(t\in \left[ a;b \right])$, đưa về hàm chứa ẩn t.
- Cô lập m, đưa bất phương trình về dạng $m<f\left( t \right)\forall t\in \left[ a;b \right]\Leftrightarrow m<\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{min}} f\left( t \right)$.
- Lập BBT của hàm số y= f( t) và kết luận.
Cách giải:
Đặt $t={{2}^{x}}$, với $x\in \left[ 0;1 \right]\Rightarrow t\in \left[ 1;2 \right].~$
Khi đó bất phương trình trở thành
$\begin{aligned}
& {{t}^{2}}-mt+1>0\forall t\in \left[ 1;2 \right] \\
& \Leftrightarrow \dfrac{{{t}^{2}}+1}{t}>m\forall t\in \left[ 1;2 \right]\left( * \right) \\
\end{aligned}$
Đặt $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+1}{t}$ ta có $f'\left( t \right)~=\dfrac{{{t}^{2}}-1}{{{t}^{2}}}=0\Leftrightarrow t=\pm 1$
Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (*) xảy ra khi $m<\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }} f\left( t \right)\Leftrightarrow m<2$