Bài 9 trang 100 SGK Hình học 12

Câu hỏi: Trong không gian cho bốn điểm .

Câu a​

Chứng minh rằng các đường thẳng vuông góc với nhau từng đôi một. Tính thể tích khối tứ diện .
Phương pháp giải:
Ta xét các tích vô hướng ; ;

Lời giải chi tiết:

A) Ta xét các tích vô hướng ; ;
Ta có: , ,

Các trường hợp còn lại chứng minh tương tự.
Ta có:  =
Mà
(đvtt)

Câu b​

Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm .
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, xác định tâm I và tính bán kính .
Lời giải chi tiết:
Gọi là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện .
nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác . Tam giác vuông tại đỉnh nên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường thẳng vuông góc với mp và đi qua trung điểm của cạnh huyền .
Như vậy                       (1)
Ta lại có . Gọi là trung điểm của , ta có:
=                         (2)
Từ (1) và (2), suy ra
Với


Tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là
Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là thì:
 =
Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện :
.
Cách khác:
Gọi mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D.
Khi đó



Vậy phương trình mặt cầu là: hay

Câu b​

Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu và song song với mặt phẳng .
Phương pháp giải:
Xác định VTPT của mặt phẳng , viết phương trình mặt phẳng  khi biết VTPT.
tiếp xúc với (S)  với lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu (S).
Lời giải chi tiết:
Ta có:; // nên nhận  làm vectơ pháp tuyến.
Ta có nên :.
Khoảng cách từ tâm của mặt cầu đến mặt phẳng là:

Để mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu, ta cần có:

Ta có hai mặt phẳng:
TH1:

TH2: