Bài 8 trang 100 SGK Hình học 12

Câu hỏi: Trong không gian \(Oxyz\) cho các điểm \(A(1; 0 ; -1), B(3; 4 ; -2), C(4 ; -1; 1), D(3; 0 ; 3)\).

Câu a​

Chứng minh rằng \(A, B, C, D\) không đồng phẳng.
Phương pháp giải:
Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và chứng minh \(D \notin \left( {ABC} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\overrightarrow {AB} = (2; 4; -1)\), \(\overrightarrow {AC} = (3; -1; 2)\)
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] =  (7; -7; -14)=7(1;-1;-2)\)
Gọi \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) \(\Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {1; - 1; - 2} \right)\)
Khi đó phương trình mp \((ABC)\): \((x - 1) - (y - 0) -2(z + 1) = 0 \)
\(\Leftrightarrow x - y - 2z - 3 = 0\).
Thay tọa độ điểm D vào phương trình mặt phẳng (ABC) ta có: \(3 - 0 - 2.3 - 3 =  - 6 \ne 0 \Rightarrow D \notin \left( {ABC} \right)\).
Vậy \(A, B, C, D\) không đồng phẳng.

Câu b​

Viết phương trình mặt phẳng \((ABC)\) và tính khoảng cách từ \(D\) đến \((ABC)\).
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng.
Khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right): Ax + By + Cz + D = 0 \left({{A^2} + {B^2} + {C^2} > 0} \right)\) là: \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)
Lời giải chi tiết:
\(\displaystyle d(D, (ABC))\) =\(\displaystyle {{\left| {1.3 - 0 - 2.3 - 3} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} }} = {6 \over {\sqrt 6 }} = \sqrt 6 \)

Câu c​

Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\).
Phương pháp giải:
Gọi phương trình tổng quát của mặt cầu là \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0\).
Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào phương trình mặt cầu trên, suy ra được hệ 4 phương trình 4 ẩn A, B, C, D. Giải hệ phương trình sau đó suy ra phương trình mặt cầu.
Lời giải chi tiết:
Phương trình tổng quát của mặt cầu:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0\)
Mặt cầu đi qua \(A(1; 0; -1)\) ta có:
\({1^2} + {0^2} + {( - 1)^2} + 2A - 2C + D = 0 \)
\(\Leftrightarrow 2A - 2C + D + 2 = 0 \)(1)
Tương tự, mặt cầu đi qua \(B, C, D\) cho ta các phương trình:
\(6A + 8B - 4C + D + 29 = 0 \)     (2)
\(8A - 2B + 2C + D + 18 = 0 \)    (3)
\(6A  + 6C + D + 18 = 0  \)    (4)
Hệ bốn phương trình (1), (2), (3), (4) cho ta: \(A = -3; B =- 2; C = {-1 \over 2}; D = 3\).
Vậy hương trình mặt cầu đi qua bốn điểm \(A, B, C, D\) là: \({x^2} + {y^2} + {z^2} -6 x - 4y - z +3 = 0\)
Cách khác:
Ta có:
\(\overrightarrow {AB}  = \left( {2; 4; - 1} \right),\overrightarrow {AD}  = \left({2; 0; 4} \right),\) \(\overrightarrow {CB}  = \left( { - 1; 5; - 3} \right),\overrightarrow {CD}  = \left({ - 1; 1; 2} \right)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 0\) và \(\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CD}  = 0\)
\(\Rightarrow CB \bot CD, AB \bot AD\)
Nên hai tam giác \(ABD, CBD\) vuông tại \(A, C\).
Gọi \(I\) là trung điểm \(BD\) thì \(IA = IB = ID = IC = \dfrac{{BD}}{2}\) nên \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Mà \(B\left( {3; 4; - 2} \right), D\left({4; - 1; 1} \right)\) nên \(I\left( {3; 2;\dfrac{1}{2}} \right)\).
Bán kính \(R = \dfrac{{BD}}{2} = \dfrac{{\sqrt {0 + 16 + 25} }}{2} = \dfrac{{\sqrt {41} }}{2}\).
Phương trình mặt cầu: \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left({y - 2} \right)^2} + {\left({z - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{{41}}{4}\) hay \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 4y - z + 3 = 0\)

Câu d​

Tính thể tích tứ diện \(ABCD\).
Phương pháp giải:
\({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {AD}  = \left( {2; 0; 4} \right)\)
\(\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD}  = 7.2 - 7.0 - 14.4 =  - 42\)
Vậy \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = \dfrac{1}{6}. 42 = 7\)
Cách khác:
Ta có: \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}. D\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right)\)
\(\overrightarrow {AB}  = \left( {2; 4; - 1} \right),\overrightarrow {AC}  = \left({3; - 1; 2} \right)\) \(\Rightarrow AB = \sqrt {4 + 16 + 1}  = \sqrt {21} ,\) \(AC = \sqrt {9 + 1 + 4}  = \sqrt {14} \).
\(\Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0 \Rightarrow AB \bot AC\)
\(\Rightarrow \) tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) \(\Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB. AC\) \(= \dfrac{1}{2}\sqrt {21} .\sqrt {14}  = \dfrac{{7\sqrt 6 }}{2}\).
Mà \(d\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right) = \sqrt 6 \) nên \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}. D\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right)\)\(= \dfrac{1}{3}.\dfrac{{7\sqrt 6 }}{2}.\sqrt 6  = 7\).