Bài 11 trang 101 SGK Hình học 12

Câu hỏi: Trong không gian \(Oxyz\) cho các điểm \(A(-1; 2 ; 0), B(-3; 0 ; 2), C(1; 2 ; 3), D(0; 3 ;-2)\)

Câu a​

Viết phương trình mặt phẳng \((ABC)\) và phương trình tham số của đường thẳng \(AD\).
Phương pháp giải:
Mặt phẳng (ABC) đi qua A và nhận vector \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]\) là 1 VTPT.
Đường thẳng AD đi qua A và nhận \(\overrightarrow {AD} \) là VTCP, viết phương trình đường thẳng d.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (-2; -2; 2)\), \(\overrightarrow {AC} = (2; 0; 3)\).
Gọi \(\vec n\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) thì:
\(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\)
\(\Rightarrow \overrightarrow n  = ( - 6; 10; 4) =-2(3; -5; -2)\).
Chọn vectơ \((3; -5; -2)\) là vectơ pháp tuyến của mp \((ABC)\) và được phương trình:
\(3(x + 1) - 5(y - 2) - 2(z - 0) = 0\)
\(\Leftrightarrow 3x - 5y - 2z + 13 = 0\)
Đường thẳng \(AD\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AD} = (1; 1; -2)\) và đi qua \(A(-1; 2; 0)\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 2 + t\\z =  - 2t\end{array} \right., t \in \mathbb{R}\)

Câu b​

Viết phương trình mặt phẳng \((α)\) chứa \(AD\) và song song với \(BC\).
Phương pháp giải:
Mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua A và nhận \(\overrightarrow m  = \left[ {\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {BC} } \right]\) là 1 VTPT.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {AD} = (1; 1; -2)\), \(\overrightarrow {BC} = (4; 2; 1)\)
Gọi \(\overrightarrow m \) là vectơ pháp tuyến của mp \((α)\) thì:
\(\overrightarrow m  = \left[ {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BC} } \right]= (5; -9; -2)\)
\((α)\) chứa \(AD\) nên đi qua điểm \(A(-1; 2; 0)\)
Phương trình của \((α)\) là:
\(5(x + 1) - 9(y - 2) - 2(z - 0) = 0\)
\(\Leftrightarrow 5x - 9y  - 2z + 23 = 0\).