Bài 81 trang 129 SGK giải tích 12 nâng cao

Câu hỏi: Giải bất phương trình:
\(\eqalign{
& a) {\log _5}\left({3x - 1} \right) < 1 ; \cr
& b) {\log _{{1 \over 3}}}\left({5x - 1} \right) > 0 ; \cr} \)
\(\eqalign{
& c) {\log _{0,5}}\left({{x^2} - 5x + 6} \right) \ge - 1 ; \cr
& d) {\log _3}{{1 - 2x} \over x} \le 0. \cr} \)

Câu a​

\({\log _5}\left( {3x - 1} \right) < 1\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{
& a) {\log _5}\left({3x - 1} \right) < 1 \cr&\Leftrightarrow {\log _5}\left({3x - 1} \right) < {\log _5}5 \cr
& \Leftrightarrow 0 < 3x - 1 < 5\cr& \Leftrightarrow 1 < 3x < 6 \Leftrightarrow {1 \over 3} < x < 2 \cr} \)
Vậy \(S = \left( {{1 \over 3}; 2} \right)\)
Cách trình bày khác:
Điều kiện: $x > \frac{1}{3}$
Bất phương trình $ \Leftrightarrow {\log _5}\left( {3x - 1} \right) < {\log _5}5$
$ \Leftrightarrow 3x - 1 < 5 \Leftrightarrow x < 2$
Kết hợp với điều kiện ta được $\frac{1}{3} < x < 2$

Câu b​

\({\log _{{1 \over 3}}}\left( {5x - 1} \right) > 0\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{
& b) {\log _{{1 \over 3}}}\left({5x - 1} \right) > 0 \cr
& \Leftrightarrow {\log _{{1 \over 3}}}\left({5x - 1} \right) > {\log _{{1 \over 3}}}1 \cr
& \Leftrightarrow 0 < 5x - 1 < 1 \Leftrightarrow {1 \over 5} < x < {2 \over 5} \cr} \)
Vậy \(S = \left( {{1 \over 5};{2 \over 5}} \right)\)
Cách trình bày khác:
ĐK: \(5x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{5}\)
BPT
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5x - 1 < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^0} = 1\\ \Leftrightarrow 5x < 2\\ \Leftrightarrow x < \frac{2}{5}\end{array}\)
Kết hợp ĐK được \(\frac{1}{5} < x < \frac{2}{5}\)

Câu c​

\({\log _{0,5}}\left( {{x^2} - 5x + 6} \right) \ge - 1\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{
& c) {\log _{0,5}}\left({{x^2} - 5x + 6} \right) \ge - 1\cr
& \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left({{x^2} - 5x + 6} \right) \ge -1 \cr
& \Leftrightarrow 0 < {x^2} - 5x + 6 \le {\left({\frac{1}{2}} \right)^{ - 1}} = 2 \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - 5x + 6 > 0 \hfill \cr
{x^2} - 5x + 4 \le 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x < 2 \text { hoặc } x > 3 \hfill \cr
1 \le x \le 4 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow 1 \le x < 2 \text { hoặc } 3 < x \le 4 \cr} \)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left[ {1; 2} \right) \cup \left({3; 4} \right]\)
Cách trình bày khác:
ĐK:\({x^2} - 5x + 6 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 3\\
x < 2
\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}
BPT \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left({{x^2} - 5x + 6} \right) \ge - 1\\
\Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 \le {\left({\frac{1}{2}} \right)^{ - 1}} = 2\\
\Leftrightarrow {x^2} - 5x + 4 \le 0\\
\Leftrightarrow 1 \le x \le 4
\end{array}\)
Kết hợp ĐK ta được \(1 \le x < 2 \text { hoặc } 3 < x \le 4\).

Câu d​

\({\log _3}{{1 - 2x} \over x} \le 0.\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{
& d) {\log _3}{{1 - 2x} \over x} \le 0 \cr&\Leftrightarrow {\log _3}{{1 - 2x} \over x} \le {\log _3}1 \cr
& \Leftrightarrow 0 < {{1 - 2x} \over x} \le 1\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{{1 - 2x} \over x} > 0 \hfill \cr
{{1 - 2x} \over x} - 1 \le 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
0 < x < {1 \over 2} \hfill \cr
{{1 - 3x} \over x} \le 0 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
0 < x < {1 \over 2} \hfill \cr
x < 0 \text { hoặc } x \ge {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow {1 \over 3} \le x < {1 \over 2} \cr} \)
Vậy \(S = \left[ {{1 \over 3};{1 \over 2}} \right)\)
Cách trình bày khác:
ĐK: \(\frac{{1 - 2x}}{x} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < \frac{1}{2}\)
Khi đó,
\(\begin{array}{l}
BPT \Leftrightarrow \frac{{1 - 2x}}{x} \le {3^0} = 1\\
\Leftrightarrow \frac{{1 - 2x}}{x} - 1 \le 0\\
\Leftrightarrow \frac{{1 - 3x}}{x} \le 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \ge \frac{1}{3}\\
x < 0
\end{array} \right.
\end{array}\)
Kết hợp ĐK ta được \({1 \over 3} \le x < {1 \over 2}\)