Bài 8 trang 15 SGK Hình học 12 Nâng cao

Câu hỏi: Cho hình lập phương \(ABCD. A'B'C'D'\). Chứng minh rằng :

Câu a​

Các hình chóp \(A. A'B'C'D'\) và \(C'. ABCD\) bằng nhau ;
Lời giải chi tiết:

Gọi \(O\) là tâm của hình lập phương.
Phép đối xứng tâm \(O\) biến:
A thành C'
A' thành C
B' thành D
C' thành A
D' thành B
Do dó, phép đối xứng tâm \(O\) biến hình chóp \(A. A’B’C’D’\) thành hình chóp \(C’. CDAB\).
Vậy hai hình chóp đó bằng nhau.
Cách khác:
Do ABCD. A’B’C’D’ là hình lập phương nên phép đối xứng qua mặt phẳng trung trực của AA’ biến hình chóp A. A’B’C’D’ thành hình chóp A’. ABCD.
Phép đối xứng qua (BB’DD’) biến hình chóp A’. ABCD thành hình chóp C’. ABCD.
Do đó, A. A’B’C’D’ và C’. ABCD bằng nhau (vì phép đối xứng qua mặt phẳng phép dời hình)

Câu b​

Các hình lăng trụ \(ABC. A'B'C'\) và \(AA'D'. BB'C'\) bằng nhau.
Lời giải chi tiết:
Phép đối xứng qua mp\((ADC’B’)\) biến
A->A'; B->A, C->D, A'->B, B'->B; C'->C'
Vậy phép đối xứng qua mp\((ADC’B’)\) biến các đỉnh của hình lăng trụ \(ABC. A’B’C’\) thành các đỉnh của lăng trụ \(AA’D’. BB’C’\) nên hai hình lăng trụ đó bằng nhau.