Bài 55 trang 50 SGK giải tích 12 nâng cao

Câu hỏi:

Câu a​

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = x - {2 \over {x - 1}}\)
Lời giải chi tiết:
Tập xác định: \(D = R\backslash \left\{ 1 \right\}\)
\(y' = 1 + {2 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in D\)
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty; 1)\) và \((1; + \infty)\)
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = + \infty \cr 
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = - \infty \cr} \)
Do đó \(x=1\) là tiệm cận đứng.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } (y - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left({ - {2 \over {x - 1}}} \right) = 0\)
Vậy \(y=x\) là tiệm cận xiên.
Bảng biến thiên:

Đồ thị giao \(Ox\) tại \((-1; 0),(2; 0)\)
Đồ thị giao \(Oy\) tại \((0; 2)\)

Câu b​

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm \((3; 3)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(y' = 1 + {2 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho tại điểm \(M\left( {{x_o};{{x_o} - {2 \over {{x_o} - 1}}}} \right) \in \left(C \right)\) là:
\(\left( d \right): y - {x_o} + {2 \over {{x_o} - 1}} \) \(= \left[ {1 + {2 \over {{{\left( {{x_o} - 1} \right)}^2}}}} \right]\left({x - {x_o}} \right) \left({x_o \ne 1} \right)\)
Vì \(\left( {3; 3} \right) \in d\) nên \(3 - {x_o} + {2 \over {{x_o} - 1}} = {{{{\left( {{x_o} - 1} \right)}^2} + 2} \over {{{\left({{x_o} - 1} \right)}^2}}}\left({3 - {x_o}} \right)\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left({3 - {x_o}} \right){\left({{x_o} - 1} \right)^2} + 2\left({{x_o} - 1} \right) \cr&= \left({{x_o^2} - 2{x_o} + 3} \right)\left({3 - {x_o}} \right) \cr} \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left({3 - {x_o}} \right)\left({x_o^2 - 2{x_o} + 1} \right) + 2{x_o} - 2\\
= 3x_o^2 - 6{x_o} + 9 - x_o^3 + 2x_o^2 - 3{x_o}\\
\Leftrightarrow 3x_o^2 - x_o^3 - 6{x_o} + 2x_o^2 + 3 - {x_o} + 2{x_o} - 2\\
= 3x_o^2 - 6{x_o} + 9 - x_o^3 + 2x_o^2 - 3{x_o}\\
\Leftrightarrow 4{x_o} - 8 = 0\\
\Leftrightarrow {x_o} = 2\\
\Rightarrow {y_o} = 2 - \frac{2}{{2 - 1}} = 0
\end{array}\)
\(\Rightarrow M\left( {2; 0} \right)\)
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \(y = 3\left( {x - 2} \right)\) hay \(y = 3x - 6.\)
Cách khác:
Gọi phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc k đi qua A(3; 3) có dạng
y-3=k(x-3) <=> y=k(x-3)+3
(d) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm

Thế (2) vào (1) ta được:
\(\begin{array}{l}
\frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 1}} = \left({1 + \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}} \right)\left({x - 3} \right) + 3\\
\Leftrightarrow \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 1}} = \frac{{{{\left({x - 1} \right)}^2} + 2}}{{{{\left({x - 1} \right)}^2}}}\left({x - 3} \right) + 3\\
\Leftrightarrow \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 1}} = \frac{{\left({{x^2} - 2x + 3} \right)\left({x - 3} \right)}}{{{{\left({x - 1} \right)}^2}}} + 3\\
\Leftrightarrow \frac{{\left({{x^2} - x - 2} \right)\left({x - 1} \right)}}{{{{\left({x - 1} \right)}^2}}}\\
= \frac{{\left({{x^2} - 2x + 3} \right)\left({x - 3} \right)}}{{{{\left({x - 1} \right)}^2}}} + \frac{{3{{\left({x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left({x - 1} \right)}^2}}}\\
\Rightarrow \left({{x^2} - x - 2} \right)\left({x - 1} \right)\\
= \left({{x^2} - 2x + 3} \right)\left({x - 3} \right) + 3\left({{x^2} - 2x + 1} \right)\\
\Leftrightarrow {x^3} - {x^2} - 2x - {x^2} + x + 2\\
= {x^3} - 2{x^2} + 3x - 3{x^2} + 6x - 9 + 3{x^2} - 6x + 3\\
\Leftrightarrow - 4x + 8 = 0\\
\Leftrightarrow x = 2
\end{array}\)
* Với x = 2 thay vào (2) ta được k = 3.
Vậy phương trình tiếp tuyến là
y = 3(x- 3) + 3 hay y = 3x – 6