Google
Câu hỏi: Cho hình bình hành \(ABCD.\) Gọi \(K\) và \(L\) là hai điểm thuộc cạnh \(BC\) sao cho \(BK = KL = LC.\) Tính tỉ số diện tích của :
a) Các tam giác \(DAC\) và \(DCK\)
b) Tam giác \(DAC\) và tứ giác \(ADLB\)
c) Các tứ giác \(ABKD\) và \(ABLD\)
a) Các tam giác \(DAC\) và \(DCK\)
b) Tam giác \(DAC\) và tứ giác \(ADLB\)
c) Các tứ giác \(ABKD\) và \(ABLD\)
Phương pháp giải
Tìm mối liên hệ giữa đường cao và cạnh đáy của các tam giác để từ đó tính tỉ số diện tích của các hình theo yêu cầu của bài toán.
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \({S_{ACD}} = {S_{BCD}} = {S_{DAB}} = {S_{CAB}} \) \(=\eqalign {1 \over 2}{S_{ABCD}}\) (1)
\(∆ DCK\) và \(∆ DCB\) có chung chiều cao kẻ từ đỉnh \(D,\) cạnh đáy \(CK = \eqalign{2 \over 3}CB\)
\( \Rightarrow {S_{DCK}} =\eqalign {2 \over 3}{S_{DBC}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \({S_{DCK}} = \eqalign{2 \over 3}{S_{DAC}} \Rightarrow \eqalign{{{S_{DCK}}} \over {{S_{DAC}}}} = \eqalign{2 \over 3}\)
b) Ta có: \({S_{ADLB}} = {S_{ADB}} + {S_{DLB}}\)
\(∆ DBC\) và \(∆ DLC\) có chung chiều cao kẻ từ đỉnh \(D,\) cạnh đáy \(LB =\eqalign {2 \over 3}BC\)
\( \Rightarrow {S_{DLB}} = \eqalign{2 \over 3}{S_{DBC}}\)
mà \({S_{DAC}} = {S_{ADB}} = {S_{DBC}}\) (chứng minh trên)
Suy ra: \({{S_{ADLB}} = {S_{DAC}} + \eqalign{2 \over 3}{S_{DAC}}} \) \({= \eqalign{5 \over 3}{S_{DAC}}} \)
\(\Rightarrow \eqalign{{{S_{DAC}}} \over {{S_{ADLB}}}} = \eqalign{3 \over 5}\)
c) Ta có: \({S_{ABKD}} = {S_{ABD}} + {S_{DKB}}\)
\(∆ DKB\) và \(∆ DCB\) có chung chiều cao kẻ từ \(D,\) cạnh đáy \(BL = \eqalign{1 \over 3}BC\)
\( \Rightarrow {S_{DKB}} = \eqalign{1 \over 3}{S_{DCB}}\)
mà \({S_{DAC}} = {S_{ADB}} = {S_{DBC}}\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow {S_{ABKD}} = {S_{DAC}} + \eqalign{1 \over 3}{S_{DAC}} \) \(=\eqalign {4 \over 3}{S_{DAC}}\)
\(\Rightarrow \eqalign{{{S_{ABKD}}} \over {{S_{ADLB}}}} = \eqalign{{\eqalign{4 \over 3}{S_{DAC}}} \over {\eqalign{5 \over 3}{S_{DAC}}}} = \eqalign{4 \over 5}\)
Tìm mối liên hệ giữa đường cao và cạnh đáy của các tam giác để từ đó tính tỉ số diện tích của các hình theo yêu cầu của bài toán.
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \({S_{ACD}} = {S_{BCD}} = {S_{DAB}} = {S_{CAB}} \) \(=\eqalign {1 \over 2}{S_{ABCD}}\) (1)
\(∆ DCK\) và \(∆ DCB\) có chung chiều cao kẻ từ đỉnh \(D,\) cạnh đáy \(CK = \eqalign{2 \over 3}CB\)
\( \Rightarrow {S_{DCK}} =\eqalign {2 \over 3}{S_{DBC}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \({S_{DCK}} = \eqalign{2 \over 3}{S_{DAC}} \Rightarrow \eqalign{{{S_{DCK}}} \over {{S_{DAC}}}} = \eqalign{2 \over 3}\)
b) Ta có: \({S_{ADLB}} = {S_{ADB}} + {S_{DLB}}\)
\(∆ DBC\) và \(∆ DLC\) có chung chiều cao kẻ từ đỉnh \(D,\) cạnh đáy \(LB =\eqalign {2 \over 3}BC\)
\( \Rightarrow {S_{DLB}} = \eqalign{2 \over 3}{S_{DBC}}\)
mà \({S_{DAC}} = {S_{ADB}} = {S_{DBC}}\) (chứng minh trên)
Suy ra: \({{S_{ADLB}} = {S_{DAC}} + \eqalign{2 \over 3}{S_{DAC}}} \) \({= \eqalign{5 \over 3}{S_{DAC}}} \)
\(\Rightarrow \eqalign{{{S_{DAC}}} \over {{S_{ADLB}}}} = \eqalign{3 \over 5}\)
c) Ta có: \({S_{ABKD}} = {S_{ABD}} + {S_{DKB}}\)
\(∆ DKB\) và \(∆ DCB\) có chung chiều cao kẻ từ \(D,\) cạnh đáy \(BL = \eqalign{1 \over 3}BC\)
\( \Rightarrow {S_{DKB}} = \eqalign{1 \over 3}{S_{DCB}}\)
mà \({S_{DAC}} = {S_{ADB}} = {S_{DBC}}\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow {S_{ABKD}} = {S_{DAC}} + \eqalign{1 \over 3}{S_{DAC}} \) \(=\eqalign {4 \over 3}{S_{DAC}}\)
\(\Rightarrow \eqalign{{{S_{ABKD}}} \over {{S_{ADLB}}}} = \eqalign{{\eqalign{4 \over 3}{S_{DAC}}} \over {\eqalign{5 \over 3}{S_{DAC}}}} = \eqalign{4 \over 5}\)