Google
Câu hỏi: Tam giác \(ABC\) có hai trung tuyến \(AM\) và \(BN\) vuông góc với nhau. Hãy tính diện tích tam giác đó theo \(AM\) và \(BN\)
Phương pháp giải
Áp dụng công thức tính diện tích tam giác bằng nửa tích một cạnh và chiều cao tương ứng: \(S=\dfrac{1}{2}ah\)
Lời giải chi tiết
Tứ giác \(ABMN\) có hai đường chéo vuông góc.
\({S_{ABMN}} = \eqalign{1 \over 2}AM.BN\)
\(∆ ABM\) và \(∆ AMC\) có chung chiều cao kẻ từ \(A,\) cạnh đáy \(BM = MC\)
\( \Rightarrow {S_{ABM}} = {S_{AMC}} = \eqalign{1 \over 2}{S_{ABC}}\)
\(∆ MAN\) và \(∆ MNC\) có chung chiều cao kẻ từ \(M,\) cạnh đáy \(AN = NC\)
\(\eqalign{ & \Rightarrow {S_{MAN}} = {S_{MNC}} = {1 \over 2}{S_{AMC}} } \) \(\eqalign{ = {1 \over 4} {S_{ABC}}} \)
\(\eqalign{{S_{ABMN}} = {S_{ABM}} + {S_{MNA}}} \)
\(= \eqalign{{1 \over 2}{S_{ABC}} + {1 \over 4}{S_{ABC}} }\)
\(= \eqalign{{3 \over 4}{S_{ABC}} }\)
\(\Rightarrow \eqalign{{S_{ABC}} = \eqalign{4 \over 3}{S_{ABMN}} }\) \(= \eqalign{{4 \over 3}.\eqalign{1 \over 2}.AM.BN =\eqalign {2 \over 3}AM.BN }\)
Áp dụng công thức tính diện tích tam giác bằng nửa tích một cạnh và chiều cao tương ứng: \(S=\dfrac{1}{2}ah\)
Lời giải chi tiết
Tứ giác \(ABMN\) có hai đường chéo vuông góc.
\({S_{ABMN}} = \eqalign{1 \over 2}AM.BN\)
\(∆ ABM\) và \(∆ AMC\) có chung chiều cao kẻ từ \(A,\) cạnh đáy \(BM = MC\)
\( \Rightarrow {S_{ABM}} = {S_{AMC}} = \eqalign{1 \over 2}{S_{ABC}}\)
\(∆ MAN\) và \(∆ MNC\) có chung chiều cao kẻ từ \(M,\) cạnh đáy \(AN = NC\)
\(\eqalign{ & \Rightarrow {S_{MAN}} = {S_{MNC}} = {1 \over 2}{S_{AMC}} } \) \(\eqalign{ = {1 \over 4} {S_{ABC}}} \)
\(\eqalign{{S_{ABMN}} = {S_{ABM}} + {S_{MNA}}} \)
\(= \eqalign{{1 \over 2}{S_{ABC}} + {1 \over 4}{S_{ABC}} }\)
\(= \eqalign{{3 \over 4}{S_{ABC}} }\)
\(\Rightarrow \eqalign{{S_{ABC}} = \eqalign{4 \over 3}{S_{ABMN}} }\) \(= \eqalign{{4 \over 3}.\eqalign{1 \over 2}.AM.BN =\eqalign {2 \over 3}AM.BN }\)