Google
Câu hỏi: Tìm các giá trị của tham số \(a\) để hàm số \(f\left( x \right) = {1 \over 3}{x^3} + a{x^2} + 4x + 3\) đồng biến trên \(\mathbb R\).
Phương pháp giải
Hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\) khi và chỉ khi \(f'\left( x \right) \ge 0, \forall x \in\mathbb R\)
Chú ý:
\(a{x^2} + bx + c \ge 0\left( {a \ne 0} \right),\forall x \in R \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 0\\
\Delta \le 0
\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết
Tập xác định \(D = \mathbb R\)
\(f'\left( x \right) = {x^2} + 2ax + 4\);
\(\Delta ' = {a^2} - 4\)
Hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\) khi và chỉ khi \(f'\left( x \right) \ge 0, \forall x \in\mathbb R\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
1 > 0 \hfill \cr
\Delta ' \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
1 > 0 \hfill \cr
{a^2} - 4 \le 0 \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow - 2 \le a \le 2\)
Vậy \( - 2 \le a \le 2\) thỏa mãn yêu cầu của bài toán
Hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\) khi và chỉ khi \(f'\left( x \right) \ge 0, \forall x \in\mathbb R\)
Chú ý:
\(a{x^2} + bx + c \ge 0\left( {a \ne 0} \right),\forall x \in R \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 0\\
\Delta \le 0
\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết
Tập xác định \(D = \mathbb R\)
\(f'\left( x \right) = {x^2} + 2ax + 4\);
\(\Delta ' = {a^2} - 4\)
Hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\) khi và chỉ khi \(f'\left( x \right) \ge 0, \forall x \in\mathbb R\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
1 > 0 \hfill \cr
\Delta ' \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
1 > 0 \hfill \cr
{a^2} - 4 \le 0 \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow - 2 \le a \le 2\)
Vậy \( - 2 \le a \le 2\) thỏa mãn yêu cầu của bài toán