Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng hàm số
\(y = {\rm{sign}}x = \left\{ \matrix{
1, {\rm{ nếu }} x > 0{\rm{ }} \hfill \cr
0, {\rm{ nếu }} x = 0 \hfill \cr
- 1, {\rm{ nếu }} x < 0 \hfill \cr} \right.\) không có đạo hàm tại x = 0.
\(y = {\rm{sign}}x = \left\{ \matrix{
1, {\rm{ nếu }} x > 0{\rm{ }} \hfill \cr
0, {\rm{ nếu }} x = 0 \hfill \cr
- 1, {\rm{ nếu }} x < 0 \hfill \cr} \right.\) không có đạo hàm tại x = 0.
Phương pháp giải
Chứng minh hàm số không liên tục tại \(x=0\) và suy ra kết luận.
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} 1 = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left(x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left({ - 1} \right) = - 1\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left(x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left(x \right)\end{array}\)
Do đó không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)\) nên hàm số không liên tục tại \(x = 0\).
Do đó không có đạo hàm tại \(x = 0\).
Chứng minh hàm số không liên tục tại \(x=0\) và suy ra kết luận.
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} 1 = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left(x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left({ - 1} \right) = - 1\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left(x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left(x \right)\end{array}\)
Do đó không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)\) nên hàm số không liên tục tại \(x = 0\).
Do đó không có đạo hàm tại \(x = 0\).