Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng hàm số y = |x - 1| không có đạo hàm tại x = 1 nhưng liên tục tại điểm đó.
Phương pháp giải
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0}\) \(\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left({{x_0}} \right)\)
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại \({x_0}\) \(\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left({{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) tồn tại hữu hạn.
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left(x \right) - f\left(1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{\left| {x - 1} \right| - 0}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{x - 1}}{{x - 1}} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left(x \right) - f\left(1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{\left| {x - 1} \right| - 0}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{ - x + 1}}{{x - 1}} = - 1\end{array}\)
\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left(1 \right)}}{{x - 1}}\) \(\ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left(1 \right)}}{{x - 1}}\)
Do đó không tồn tại \(f'\left( 1 \right)\).
Lại có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left| {x - 1} \right|\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left({x - 1} \right) = 1 - 1 = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left(x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left| {x - 1} \right|\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left({ - x + 1} \right) = - 1 + 1 = 0\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left(x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left(x \right) = 0\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left(x \right) = 0 = f\left(1 \right)\end{array}\)
Do đó hàm số liên tục tại \(x = 1\)
Vậy ta có đpcm.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0}\) \(\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left({{x_0}} \right)\)
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại \({x_0}\) \(\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left({{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) tồn tại hữu hạn.
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left(x \right) - f\left(1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{\left| {x - 1} \right| - 0}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{x - 1}}{{x - 1}} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left(x \right) - f\left(1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{\left| {x - 1} \right| - 0}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{ - x + 1}}{{x - 1}} = - 1\end{array}\)
\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left(1 \right)}}{{x - 1}}\) \(\ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left(1 \right)}}{{x - 1}}\)
Do đó không tồn tại \(f'\left( 1 \right)\).
Lại có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left| {x - 1} \right|\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left({x - 1} \right) = 1 - 1 = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left(x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left| {x - 1} \right|\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left({ - x + 1} \right) = - 1 + 1 = 0\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left(x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left(x \right) = 0\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left(x \right) = 0 = f\left(1 \right)\end{array}\)
Do đó hàm số liên tục tại \(x = 1\)
Vậy ta có đpcm.