Google
Câu hỏi: Cho tứ giác \(ABCD\) có hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) vuông góc với nhau. Biết \(AC = 6 cm, BD = 8 cm.\) Gọi \(M, N, P, Q\) theo thứ tự là trung điểm các cạnh \(AB, BC, CD, DA.\) Gọi \(X, Y, Z, T\) theo thứ tự là trung điểm các cạnh \(MN, NP, PQ, QM.\)
a) Chứng minh rằng \(MNPQ\) là hình chữ nhật.
b) Tính diện tích của tứ giác \(XYZT.\)
a) Chứng minh rằng \(MNPQ\) là hình chữ nhật.
b) Tính diện tích của tứ giác \(XYZT.\)
Phương pháp giải
Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Lời giải chi tiết
a) Trong \(∆ ABD\) ta có:
\(M\) là trung điểm của \(AB\)
\(Q\) là trung điểm của \(AD\)
nên \(MQ\) là đường trung bình của \(∆ ABD.\)
\(⇒ MQ // BD\) và \(MQ = \dfrac{1}{2}BD\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)
Trong \(∆ CBD\) ta có:
\(N\) là trung điểm của \(BC\)
\(P\) là trung điểm của \(CD\)
nên \(NP\) là đường trung bình của \(∆ CBD\)
\(⇒ NP // BD\) và \(NP = \dfrac{1}{2}BD\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(MQ // NP\) và \(MQ = NP\) nên tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành
\(AC ⊥ BD\) (gt)
\(MQ // BD\) (chứng minh trên)
Suy ra: \(AC ⊥ MQ\)
Trong \(∆ ABC\) có \(MN\) là đường trung bình \(⇒ MN // AC\)
Suy ra: \(MN ⊥ MQ\) hay \(\widehat {NMQ} = 90^\circ \)
Vậy tứ giác \(MNPQ\) là hình chữ nhật.
b) Kẻ đường chéo \(MP\) và \(NQ\)
Trong \(∆ MNP\) ta có:
\(X\) là trung điểm của \(MN\)
\(Y\) là trung điểm của \(NP\)
nên \(XY\) là đường trung bình của \(∆ MNP\)
\(⇒ XY // MP\) và \(XY =\dfrac{1}{2} MP\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (3)
Trong \(∆ QMP\) ta có:
\(T\) là trung điểm của \(QM\)
\(Z\) là trung điểm của \(QP\)
nên \(TZ\) là đường trung bình của \(∆ QMP\)
\(⇒ TZ // MP\) và \(TZ = \dfrac{1}{2} MP\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: \(XY // TZ\) và \(XY = TZ\) nên tứ giác \(XYZT\) là hình bình hành.
Trong \(∆ MNQ\) ta có \(XT\) là đường trung bình
\(⇒ XT = \dfrac{1}{2}QN\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
Tứ giác \(MNPQ\) là hình chữ nhật \(⇒ MP = NQ\)
Suy ra: \(XT = XY.\) Vậy tứ giác \(XYZT\) là hình thoi
\(S_{XYZT }= \dfrac{1}{2}XZ.TY\)
mà \(XZ = MQ = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{1}{2}.8 = 4\) \((cm);\)
\(TY = MN = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}.6 = 3\) \((cm)\)
Vậy : \(S_{XYZT} = \dfrac{1}{2}.3.4 = 6(c{m^2})\)
Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Lời giải chi tiết
a) Trong \(∆ ABD\) ta có:
\(M\) là trung điểm của \(AB\)
\(Q\) là trung điểm của \(AD\)
nên \(MQ\) là đường trung bình của \(∆ ABD.\)
\(⇒ MQ // BD\) và \(MQ = \dfrac{1}{2}BD\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)
Trong \(∆ CBD\) ta có:
\(N\) là trung điểm của \(BC\)
\(P\) là trung điểm của \(CD\)
nên \(NP\) là đường trung bình của \(∆ CBD\)
\(⇒ NP // BD\) và \(NP = \dfrac{1}{2}BD\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(MQ // NP\) và \(MQ = NP\) nên tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành
\(AC ⊥ BD\) (gt)
\(MQ // BD\) (chứng minh trên)
Suy ra: \(AC ⊥ MQ\)
Trong \(∆ ABC\) có \(MN\) là đường trung bình \(⇒ MN // AC\)
Suy ra: \(MN ⊥ MQ\) hay \(\widehat {NMQ} = 90^\circ \)
Vậy tứ giác \(MNPQ\) là hình chữ nhật.
b) Kẻ đường chéo \(MP\) và \(NQ\)
Trong \(∆ MNP\) ta có:
\(X\) là trung điểm của \(MN\)
\(Y\) là trung điểm của \(NP\)
nên \(XY\) là đường trung bình của \(∆ MNP\)
\(⇒ XY // MP\) và \(XY =\dfrac{1}{2} MP\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (3)
Trong \(∆ QMP\) ta có:
\(T\) là trung điểm của \(QM\)
\(Z\) là trung điểm của \(QP\)
nên \(TZ\) là đường trung bình của \(∆ QMP\)
\(⇒ TZ // MP\) và \(TZ = \dfrac{1}{2} MP\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: \(XY // TZ\) và \(XY = TZ\) nên tứ giác \(XYZT\) là hình bình hành.
Trong \(∆ MNQ\) ta có \(XT\) là đường trung bình
\(⇒ XT = \dfrac{1}{2}QN\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
Tứ giác \(MNPQ\) là hình chữ nhật \(⇒ MP = NQ\)
Suy ra: \(XT = XY.\) Vậy tứ giác \(XYZT\) là hình thoi
\(S_{XYZT }= \dfrac{1}{2}XZ.TY\)
mà \(XZ = MQ = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{1}{2}.8 = 4\) \((cm);\)
\(TY = MN = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}.6 = 3\) \((cm)\)
Vậy : \(S_{XYZT} = \dfrac{1}{2}.3.4 = 6(c{m^2})\)