Google
Câu hỏi: Cho đường tròn \((O),\) điểm \(A\) nằm bên ngoài đường tròn. Dùng thước và compa, hãy dựng các điểm \(B\) và \(C\) thuộc đường tròn \((O)\) sao cho \(AB\) và \(AC\) là các tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)
Phương pháp giải
* Phân tích:
+) Giả sử đã có một hình thỏa mãn điều kiện bài toán
+) Chọn ra các yếu tố dựng được ngay (đoạn thẳng, tam giác,...)
+) Đưa việc dựng các điểm còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản (Mỗi điểm thường được xác định là giao của hai đường.)
* Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình vẽ.
* Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.
* Biện luận: Xem xét khi nào bài toán dựng được và dựng được bao nhiêu hình thỏa mãn đề bài
Lời giải chi tiết
* Phân tích
Giả sử tiếp tuyến \(AB\) và \(AC\) cần dựng thỏa mãn điều kiện bài toán.
Ta có: \(AB ⊥ OB\) \(\Rightarrow\widehat {ABO} = 90^\circ \)
\(AC \bot OC \Rightarrow \widehat {ACO} = 90^\circ \)
Tam giác \(ABO\) có \(\widehat {ABO} = 90^\circ \) nội tiếp trong đường tròn đường kính \(AO\) và tam giác \(ACO\) có \(\widehat {ACO} = 90^\circ \) nội tiếp trong đường tròn đường kính \(AO.\)
Suy ra \(B\) và \(C\) là giao điểm của đường tròn đường kính \(AO\) với đường tròn \((O).\)
* Cách dựng
− Dựng \(I\) là trung điểm của \(OA.\)
− Dựng đường tròn \(( I; IO)\) cắt đường tròn \((O)\) tại \(B\) và \(C.\)
− Nối \(AB, AC\) ta được hai tiếp tuyến cần dựng.
* Chứng minh
Tam giác \(ABO\) nội tiếp trong đường tròn \((I)\) có \(OA\) là đường kính nên: \(\widehat {ABO} = 90^\circ \)
Suy ra: \(AB ⊥ OB\) tại \(B\) nên \(AB\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)
Tam giác \(ACO\) nội tiếp trong đường tròn \((I)\) có \(OA\) là đường kính nên : \(\widehat {ACO} = 90^\circ \)
Suy ra: \(AC ⊥ OC\) tại \(C\) nên \(AC\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\)
* Biện luận
Luôn dựng được đường tròn tâm \(I,\) cắt đường tròn tâm \(O\) tại hai điểm \(B\) và \(C\) và luôn có \(AB, AC\) là hai tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)
* Phân tích:
+) Giả sử đã có một hình thỏa mãn điều kiện bài toán
+) Chọn ra các yếu tố dựng được ngay (đoạn thẳng, tam giác,...)
+) Đưa việc dựng các điểm còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản (Mỗi điểm thường được xác định là giao của hai đường.)
* Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình vẽ.
* Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.
* Biện luận: Xem xét khi nào bài toán dựng được và dựng được bao nhiêu hình thỏa mãn đề bài
Lời giải chi tiết
* Phân tích
Giả sử tiếp tuyến \(AB\) và \(AC\) cần dựng thỏa mãn điều kiện bài toán.
Ta có: \(AB ⊥ OB\) \(\Rightarrow\widehat {ABO} = 90^\circ \)
\(AC \bot OC \Rightarrow \widehat {ACO} = 90^\circ \)
Tam giác \(ABO\) có \(\widehat {ABO} = 90^\circ \) nội tiếp trong đường tròn đường kính \(AO\) và tam giác \(ACO\) có \(\widehat {ACO} = 90^\circ \) nội tiếp trong đường tròn đường kính \(AO.\)
Suy ra \(B\) và \(C\) là giao điểm của đường tròn đường kính \(AO\) với đường tròn \((O).\)
* Cách dựng
− Dựng \(I\) là trung điểm của \(OA.\)
− Dựng đường tròn \(( I; IO)\) cắt đường tròn \((O)\) tại \(B\) và \(C.\)
− Nối \(AB, AC\) ta được hai tiếp tuyến cần dựng.
* Chứng minh
Tam giác \(ABO\) nội tiếp trong đường tròn \((I)\) có \(OA\) là đường kính nên: \(\widehat {ABO} = 90^\circ \)
Suy ra: \(AB ⊥ OB\) tại \(B\) nên \(AB\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)
Tam giác \(ACO\) nội tiếp trong đường tròn \((I)\) có \(OA\) là đường kính nên : \(\widehat {ACO} = 90^\circ \)
Suy ra: \(AC ⊥ OC\) tại \(C\) nên \(AC\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\)
* Biện luận
Luôn dựng được đường tròn tâm \(I,\) cắt đường tròn tâm \(O\) tại hai điểm \(B\) và \(C\) và luôn có \(AB, AC\) là hai tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)