Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, \(\widehat B\) = 600. Biết rằng có một hình nón nội tiếp hình chóp đã cho với bán kính đáy là r, góc giữa đường sinh và đáy hình nón là \(\beta .\)
Lời giải chi tiết:
Đáy hình nón trong bài toán là đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Đường cao hình nón là SO (S là đỉnh của hình chóp).
Gọi I là điểm tiếp xúc của BC với đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\) thì \(OI \bot BC\) và \(SI \bot BC\) nên \(\widehat {SIO}\) =\(\beta .\)
Khi đó, chiều cao hình nón là
\(h = SO = OI\tan \beta = r\tan \beta ,\)
Độ dài đường sinh hình nón là
\(l = SI = {{OI} \over {\cos \beta }} = {r \over {\cos \beta }}.\)
Vậy diện tích xung quanh của hình nón là
\({S_1} = \pi rl = \pi r.{r \over {\cos \beta }} = {{\pi {r^2}} \over {\cos \beta }}.\)
Thể tích hình nón là
\({V_1} = {1 \over 3}\pi {r^2}h = {1 \over 3}\pi {r^2}. R.\tan \beta = {1 \over 3}\pi {r^3}\tan \beta .\)
Lời giải chi tiết:
Dễ thấy ba đường cao của ba mặt bên hình chóp S. ABC bằng nhau và cùng bằng SI.
Diện tích xung quanh của hình chóp là
\({S_2} = {1 \over 2}\left( {AB + AC + BC} \right). SI\)
Mặt khác \(AC = AB\sqrt 3, BC = 2AB,\)
\(\eqalign{ & {S_{\Delta ABC}} = {1 \over 2}AB. AC = {1 \over 2}A{B^2}\sqrt 3 , \cr & {S_{\Delta ABC}}= {1 \over 2}\left( {AB + AC + BC} \right). R \cr& = {1 \over 2}\left({3 + \sqrt 3 } \right). AB. R. \cr} \)
Từ đó \(AB = \left( {\sqrt 3 + 1} \right)r.\)
Vậy diện tích xung quanh của hình chóp S. ABC là
\(\eqalign{ & {S_2} = {1 \over 2}\left( {3 + \sqrt 3 } \right)AB. SI \cr& = {1 \over 2}\left({3 + \sqrt 3 } \right)\left({\sqrt 3 + 1} \right)r.{r \over {\cos \beta }} \cr & = {{\sqrt 3 } \over 2}{\left({\sqrt 3 + 1} \right)^2}{{{r^2}} \over {\cos \beta }}. \cr} \)
Thể tích hình chóp S. ABC là
\({V_2} = {1 \over 3}.{1 \over 2}AB. AC. SO = {{\sqrt 3 } \over 6}A{B^2}. SO,\) từ đó
\(\eqalign{ {V_2} &= {{\sqrt 3 } \over 6}{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)^2}{r^2}. R\tan \beta \cr & = {{\sqrt 3 } \over 6}{\left({\sqrt 3 + 1} \right)^2}{r^3}\tan \beta . \cr} \)
Câu 1
Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón.Lời giải chi tiết:
Đáy hình nón trong bài toán là đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Đường cao hình nón là SO (S là đỉnh của hình chóp).
Gọi I là điểm tiếp xúc của BC với đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\) thì \(OI \bot BC\) và \(SI \bot BC\) nên \(\widehat {SIO}\) =\(\beta .\)
Khi đó, chiều cao hình nón là
\(h = SO = OI\tan \beta = r\tan \beta ,\)
Độ dài đường sinh hình nón là
\(l = SI = {{OI} \over {\cos \beta }} = {r \over {\cos \beta }}.\)
Vậy diện tích xung quanh của hình nón là
\({S_1} = \pi rl = \pi r.{r \over {\cos \beta }} = {{\pi {r^2}} \over {\cos \beta }}.\)
Thể tích hình nón là
\({V_1} = {1 \over 3}\pi {r^2}h = {1 \over 3}\pi {r^2}. R.\tan \beta = {1 \over 3}\pi {r^3}\tan \beta .\)
Câu 2
Tính diện tích xung quanh và thể tích hình chóp.Lời giải chi tiết:
Dễ thấy ba đường cao của ba mặt bên hình chóp S. ABC bằng nhau và cùng bằng SI.
Diện tích xung quanh của hình chóp là
\({S_2} = {1 \over 2}\left( {AB + AC + BC} \right). SI\)
Mặt khác \(AC = AB\sqrt 3, BC = 2AB,\)
\(\eqalign{ & {S_{\Delta ABC}} = {1 \over 2}AB. AC = {1 \over 2}A{B^2}\sqrt 3 , \cr & {S_{\Delta ABC}}= {1 \over 2}\left( {AB + AC + BC} \right). R \cr& = {1 \over 2}\left({3 + \sqrt 3 } \right). AB. R. \cr} \)
Từ đó \(AB = \left( {\sqrt 3 + 1} \right)r.\)
Vậy diện tích xung quanh của hình chóp S. ABC là
\(\eqalign{ & {S_2} = {1 \over 2}\left( {3 + \sqrt 3 } \right)AB. SI \cr& = {1 \over 2}\left({3 + \sqrt 3 } \right)\left({\sqrt 3 + 1} \right)r.{r \over {\cos \beta }} \cr & = {{\sqrt 3 } \over 2}{\left({\sqrt 3 + 1} \right)^2}{{{r^2}} \over {\cos \beta }}. \cr} \)
Thể tích hình chóp S. ABC là
\({V_2} = {1 \over 3}.{1 \over 2}AB. AC. SO = {{\sqrt 3 } \over 6}A{B^2}. SO,\) từ đó
\(\eqalign{ {V_2} &= {{\sqrt 3 } \over 6}{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)^2}{r^2}. R\tan \beta \cr & = {{\sqrt 3 } \over 6}{\left({\sqrt 3 + 1} \right)^2}{r^3}\tan \beta . \cr} \)
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!