Google
Câu hỏi: Cho đường tròn (C) tâm \({F_1}\) , bán kính R và một điểm \({F_2}\) ở ngoài (C). Chứng minh rằng tập hợp tâm các đường tròn đi qua \({F_2}\) , tiếp xúc với (C) là một đường hypebol. Viết phương trình chính tắc của hypebol đó.
Lời giải chi tiết
Gọi M là tâm đường tròn (C') đi qua \({F_2}\) và tiếp xúc với (C)
+) Nếu (C') tiếp xúc ngoài với (C) thì \(MF_1 - MF_2 = R\)
+) Nếu (C') tiếp xúc trong với (C) thì \(MF_2 - MF_1 = R\)
Do đó \(|M{F_1} - M{F_2}| = R = 2a\)
Vậy tập hợp các điểm M là đường hypebol (H) có \(a = {R \over 2}, c = {{{F_1}{F_2}} \over 2}\)
\(\Rightarrow {b^2} = {c^2} - {a^2} = {{{F_1}{F_2}^2 - {R^2}} \over 4}\)
Phương trình chính tắc của (H) là:
\({{{x^2}} \over {{{\left( {{R \over 2}} \right)}^2}}} - {{{y^2}} \over {{{\left({{{\sqrt {{F_1}{F_2}^2 - {R^2}} } \over 2}} \right)}^2}}} = 1.\)
Gọi M là tâm đường tròn (C') đi qua \({F_2}\) và tiếp xúc với (C)
+) Nếu (C') tiếp xúc ngoài với (C) thì \(MF_1 - MF_2 = R\)
+) Nếu (C') tiếp xúc trong với (C) thì \(MF_2 - MF_1 = R\)
Do đó \(|M{F_1} - M{F_2}| = R = 2a\)
Vậy tập hợp các điểm M là đường hypebol (H) có \(a = {R \over 2}, c = {{{F_1}{F_2}} \over 2}\)
\(\Rightarrow {b^2} = {c^2} - {a^2} = {{{F_1}{F_2}^2 - {R^2}} \over 4}\)
Phương trình chính tắc của (H) là:
\({{{x^2}} \over {{{\left( {{R \over 2}} \right)}^2}}} - {{{y^2}} \over {{{\left({{{\sqrt {{F_1}{F_2}^2 - {R^2}} } \over 2}} \right)}^2}}} = 1.\)