Bài 36 trang 106 SBT toán 9 tập 2

Phương pháp giải
Ta sử dụng kiến thức:
Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm thỏa mãn tính chất là một hình nào đó, ta phải chứng minh hai phần:
Phần thuận: Mọi điểm có tính chất đều thuộc hình
Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình đều có tính chất
Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm có tính chất là hình
(Thông thường với bài toán "Tìm quỹ tích..." ta nên dự đoán hình trước khi chứng minh: Tập hợp các điểm tạo với hai mút của đoạn thẳng cho trước một góc bằng không đổi là hai cung tròn đối xứng với nhau qua (gọi là cung chứa góc vẽ trên đoạn )).
Lời giải chi tiết

Chứng minh thuận:
Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra:

Suy ra: vuông cân tại
hay
cố định. Khi chuyển động trên nửa đường tròn đường kính thì chuyển động trên cung chứa góc dựng trên đoạn thẳng cố định.
Ta có dây thay đổi phụ thuộc vào vị trí điểm trên nửa đường tròn đường kính
− Dây lớn nhất bằng đường kính của đường tròn. Khi trùng với khi đó trùng với Vậy là điểm của quỹ tích.
− Dây nhỏ nhất có độ dài bằng khi trùng với thì khi đó trùng với là giao điểm của tiếp tuyến đường tròn đường kính tại với cung chứa góc vẽ trên
Chứng minh đảo:
Lấy điểm tùy ý trên cung nối cắt đường tròn đường kính tại Nối
Ta có: (vì nằm trên cung chứa góc vẽ trên ).
Trong đường tròn đường kính ta có:
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra: vuông cân tại

Vậy quỹ tích các điểm khi chuyển động trên nửa đường tròn đường kính là cung nằm trên cung chứa góc vẽ trên đoạn trong nửa mặt phẳng bờ có chứa điểm

Chứng minh thuận:
Trong đường tròn đường kính ta có:
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

vuông tại

(hai góc kề bù)

cố định, chuyển động trên đường tròn đường kính thì chuyển động trên cung chứa góc dựng trên đoạn cố định.
− Khi dây có độ dài lớn nhất bằng đường kính đường tròn, thì trùng với nên trùng với là điểm của quỹ tích.
− Khi dây có độ dài nhỏ nhất bằng thì trùng với Khi đó trùng nên là điểm của quỹ tích.
Vậy chuyển động trên cung chứa góc vẽ trên đoạn nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa điểm
Chứng minh đảo:
Lấy bất kỳ trên cung chứa góc Kẻ cắt đường tròn đường kính tại Nối
Ta có: (vì nằm trên cung chứa góc vẽ trên )
Lại có: (hai góc kề bù)

Trong đường tròn đường kính ta có:
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra: vuông cân tại

Vậy quỹ tích các điểm khi chuyển động trên đường tròn đường kính là một cung chứa góc vẽ trên đoạn nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa điểm