Google
Câu hỏi: Dựng tam giác \(ABC,\) biết \(BC = 3 cm,\) \(\widehat A = {45^o}\) và trung tuyến \(AM = 2,5 cm.\)
Phương pháp giải
Ta sử dụng cách vẽ cung chứa góc \(\alpha:\)
+) Vẽ đường trung trực \(d\) của đoạn thẳng \(AB.\)
+) Vẽ tia \(Ax\) tạo với \(AB\) góc \(\alpha.\)
+) Vẽ đường thẳng \(Ay\) vuông góc với \(Ax\). Gọi \(O\) là giao điểm của \(Ay\) với \(d.\)
+) Vẽ cung \(\overparen{AmB},\) tâm \(O,\) bán kính \(OA\) sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ \(AB\) không chứa tia \(Ax.\)
+) \(\overparen{AmB}\) được vẽ như trên là một cung chứa góc \(\alpha.\)
Lời giải chi tiết
Cách dựng:
− Dựng đoạn \(BC = 3cm.\)
− Dựng \(\widehat {CBx} = 45^\circ \)
− Dựng trung điểm \(M\) của \(BC.\)
− Dựng trung trực của \(BC\)
− Dựng tia vuông góc \(Bx\) tại \(B\) cắt đường trung trực của \(BC\) tại \(O.\)
− Dựng cung tròn \(\overparen{BmC}\) bán kính \(OB\) là cung chứa góc \(45^o\) vẽ trên \(BC.\)
− Dựng cung tròn tâm \(M\) bán kính \(2,5 cm\) cắt cung \(\overparen{BmC}\) tại \(A\) và \(A'.\)
− Nối \(AB, AC\) (hoặc \(A’B, A’C\)) ta có \(∆ABC\) (hoặc \(∆A’BC\)) thỏa mãn điều kiện bài toán.
(Chú ý:
Vì \(BC = 3 cm,\) nên \(MB=MC=BC:2=\dfrac{3}{2}\)
Ta có: \(\widehat {OBM} =90^0-45^0= 45^\circ \) nên tam giác OBM vuông cân tại M.
Nên \(MB=OM=\dfrac{3}{2}\)
Theo định lý Pytago ta có \(OB =\sqrt{MB^2+OM^2}= \displaystyle{{3\sqrt 2 } \over 2}\) \((cm).\)
Khoảng cách \(2\) tâm \(MO = \displaystyle{{3\sqrt 2 } \over 2}\) \((cm)\)
\(\displaystyle{{3\sqrt 2 } \over 2} - 2,5 < MO < {{3\sqrt 2 } \over 2} + 2,5\) nên \((O)\) và \((M)\) luôn cắt nhau. Bài toán luôn dựng được)
Chứng minh:
Ta có \(ΔABC\) (hoặc \(ΔA’BC)\) có \(BC = 3cm ,\) góc A \(= 45°\)(hoặc góc \(A' =45°)\) và trung tuyến \(AM =2,5cm\) (hoặc \(A'M=2,5cm)\) thỏa mãn đề bài.
Biện luận:
Bài toán có hai nghiệm hình.
Ta sử dụng cách vẽ cung chứa góc \(\alpha:\)
+) Vẽ đường trung trực \(d\) của đoạn thẳng \(AB.\)
+) Vẽ tia \(Ax\) tạo với \(AB\) góc \(\alpha.\)
+) Vẽ đường thẳng \(Ay\) vuông góc với \(Ax\). Gọi \(O\) là giao điểm của \(Ay\) với \(d.\)
+) Vẽ cung \(\overparen{AmB},\) tâm \(O,\) bán kính \(OA\) sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ \(AB\) không chứa tia \(Ax.\)
+) \(\overparen{AmB}\) được vẽ như trên là một cung chứa góc \(\alpha.\)
Lời giải chi tiết
Cách dựng:
− Dựng đoạn \(BC = 3cm.\)
− Dựng \(\widehat {CBx} = 45^\circ \)
− Dựng trung điểm \(M\) của \(BC.\)
− Dựng trung trực của \(BC\)
− Dựng tia vuông góc \(Bx\) tại \(B\) cắt đường trung trực của \(BC\) tại \(O.\)
− Dựng cung tròn \(\overparen{BmC}\) bán kính \(OB\) là cung chứa góc \(45^o\) vẽ trên \(BC.\)
− Dựng cung tròn tâm \(M\) bán kính \(2,5 cm\) cắt cung \(\overparen{BmC}\) tại \(A\) và \(A'.\)
− Nối \(AB, AC\) (hoặc \(A’B, A’C\)) ta có \(∆ABC\) (hoặc \(∆A’BC\)) thỏa mãn điều kiện bài toán.
(Chú ý:
Vì \(BC = 3 cm,\) nên \(MB=MC=BC:2=\dfrac{3}{2}\)
Ta có: \(\widehat {OBM} =90^0-45^0= 45^\circ \) nên tam giác OBM vuông cân tại M.
Nên \(MB=OM=\dfrac{3}{2}\)
Theo định lý Pytago ta có \(OB =\sqrt{MB^2+OM^2}= \displaystyle{{3\sqrt 2 } \over 2}\) \((cm).\)
Khoảng cách \(2\) tâm \(MO = \displaystyle{{3\sqrt 2 } \over 2}\) \((cm)\)
\(\displaystyle{{3\sqrt 2 } \over 2} - 2,5 < MO < {{3\sqrt 2 } \over 2} + 2,5\) nên \((O)\) và \((M)\) luôn cắt nhau. Bài toán luôn dựng được)
Chứng minh:
Ta có \(ΔABC\) (hoặc \(ΔA’BC)\) có \(BC = 3cm ,\) góc A \(= 45°\)(hoặc góc \(A' =45°)\) và trung tuyến \(AM =2,5cm\) (hoặc \(A'M=2,5cm)\) thỏa mãn đề bài.
Biện luận:
Bài toán có hai nghiệm hình.