Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là một hình vuông cạnh a. Các mặt phẳng (SAB), (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, còn cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 300. Thể tích của hình chóp đã cho bằng
A. ${{{a^3}\sqrt 6 } \over 9}$
B. $\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}$
C. ${{{a^3}\sqrt 6 } \over 4}$
D. ${{{a^3}\sqrt 3 } \over 9}$
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left({ABCD} \right)\\\left({SAD} \right) \bot \left({ABCD} \right)\\\left({SAB} \right) \cap \left({SAD} \right) = SA\end{array} \right.\)
\(\Rightarrow SA \bot \left( {ABCD} \right)\)
\(\Rightarrow \) góc giữa \(SC\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(\widehat {SCA} = {30^0}\).
ABCD là hình vuông cạnh \(a\) nên \(AC = a\sqrt 2 \)
Tam giác SAC vuông tại A nên:
\(SA = AC\tan \widehat {SCA}\) \(= a\sqrt 2 .\tan {30^0} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
Thể tích khối chóp \({V_{S. ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}. SA\) \(= \frac{1}{3}{a^2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{9}\)
A. ${{{a^3}\sqrt 6 } \over 9}$
B. $\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}$
C. ${{{a^3}\sqrt 6 } \over 4}$
D. ${{{a^3}\sqrt 3 } \over 9}$
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left({ABCD} \right)\\\left({SAD} \right) \bot \left({ABCD} \right)\\\left({SAB} \right) \cap \left({SAD} \right) = SA\end{array} \right.\)
\(\Rightarrow SA \bot \left( {ABCD} \right)\)
\(\Rightarrow \) góc giữa \(SC\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(\widehat {SCA} = {30^0}\).
ABCD là hình vuông cạnh \(a\) nên \(AC = a\sqrt 2 \)
Tam giác SAC vuông tại A nên:
\(SA = AC\tan \widehat {SCA}\) \(= a\sqrt 2 .\tan {30^0} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
Thể tích khối chóp \({V_{S. ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}. SA\) \(= \frac{1}{3}{a^2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{9}\)
Đáp án A.