Google
Câu hỏi: \(A, B, C\) là ba điểm thuộc đường tròn \((O)\) sao cho tiếp tuyến tại \(A\) cắt tia \(BC\) tại \(D.\) Tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) cắt đường tròn ở \(M,\) tia phân giác của \(\widehat D\) cắt \(AM\) ở \(I.\) Chứng minh \(DI \bot AM.\)
Phương pháp giải
Ta sử dụng kiến thức:
+) Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.
+) Nếu \(C\) là một điểm trên cung \(AB\) thì: \(sđ \overparen{AB}=sđ \overparen{AC}+sđ \overparen{CB}.\)
+) Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
+) Trong tam giác cân, đường phân giác ứng với góc ở đỉnh cũng là đường cao.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\widehat {BAM} = \widehat {MAC}\) (vì \(AM\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\))
\( \Rightarrow \overparen{BM} =\) \(\overparen{CM}\) \( (1)\)
Ta có: \(\widehat {DAM} = \displaystyle{1 \over 2}sđ \overparen{ACM}\) (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung)
Hay \(\widehat {DAM} = \displaystyle{1 \over 2} (sđ \overparen{AC} + sđ \overparen{CM}\) )\((2)\)
Gọi \(N\) là giao điểm của \(AM\) và \(BC.\)
Ta có: \(\widehat {ANC}\) là góc có đỉnh ở trong đường tròn \((O).\)
\( \Rightarrow \) \(\widehat {ANC} = \displaystyle{1 \over 2} (sđ \overparen{AC} + sđ \overparen{BM})\)\((3)\)
Từ \((1),\) \((2)\) và \((3)\) suy ra: \(\widehat {DAM} = \widehat {ANC}\) hay \(\widehat {DAN} = \widehat {AND}\)
Suy ra: \(∆DAN\) cân tại \(D\) có \(DI\) là tia phân giác nên suy ra \(DI\) là đường cao
\( \Rightarrow \) \(DI \bot AN\) hay \(DI \bot AM\)
Ta sử dụng kiến thức:
+) Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.
+) Nếu \(C\) là một điểm trên cung \(AB\) thì: \(sđ \overparen{AB}=sđ \overparen{AC}+sđ \overparen{CB}.\)
+) Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
+) Trong tam giác cân, đường phân giác ứng với góc ở đỉnh cũng là đường cao.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\widehat {BAM} = \widehat {MAC}\) (vì \(AM\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\))
\( \Rightarrow \overparen{BM} =\) \(\overparen{CM}\) \( (1)\)
Ta có: \(\widehat {DAM} = \displaystyle{1 \over 2}sđ \overparen{ACM}\) (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung)
Hay \(\widehat {DAM} = \displaystyle{1 \over 2} (sđ \overparen{AC} + sđ \overparen{CM}\) )\((2)\)
Gọi \(N\) là giao điểm của \(AM\) và \(BC.\)
Ta có: \(\widehat {ANC}\) là góc có đỉnh ở trong đường tròn \((O).\)
\( \Rightarrow \) \(\widehat {ANC} = \displaystyle{1 \over 2} (sđ \overparen{AC} + sđ \overparen{BM})\)\((3)\)
Từ \((1),\) \((2)\) và \((3)\) suy ra: \(\widehat {DAM} = \widehat {ANC}\) hay \(\widehat {DAN} = \widehat {AND}\)
Suy ra: \(∆DAN\) cân tại \(D\) có \(DI\) là tia phân giác nên suy ra \(DI\) là đường cao
\( \Rightarrow \) \(DI \bot AN\) hay \(DI \bot AM\)