Google
Câu hỏi: Cho đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R.\) Lấy \(3\) điểm \(A, B, C\) trên đường tròn đó sao cho \(AB = BC = CA.\) Gọi \(I\) là điểm bất kỳ của cung nhỏ \(BC\) \((\)và \(I\) không trùng với \(B, C).\) Gọi \(M\) là giao điểm của \(CI\) và \(AB.\) Gọi \(N\) là giao điểm của \(BI\) và \(AC.\) Chứng minh:
\(a)\) \(\widehat {ANB} = \widehat {BCI}\)
\(b)\) \(\widehat {AMC} = \widehat {CBI}\)
\(a)\) \(\widehat {ANB} = \widehat {BCI}\)
\(b)\) \(\widehat {AMC} = \widehat {CBI}\)
Phương pháp giải
Ta sử dụng kiến thức:
+) Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.
+) Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
+) Nếu \(C\) là một điểm trên cung \(AB\) thì \(sđ \overparen{AB}=sđ \overparen{AC}+sđ \overparen{CB}.\)
+) Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.
Lời giải chi tiết
Vì \(AB = AC = BC (gt)\)
Suy ra các cung nhỏ \(\overparen{AB} = \overparen{AC} = \overparen{BC}\) \((1)\)
\(a)\) Xét đường tròn \((O)\) có: \(\widehat {BCI} = \displaystyle {1 \over 2} sđ \overparen{BI}\) (tính chất góc nội tiếp)
hay \(\widehat {BCI} = \displaystyle{1 \over 2} (sđ \overparen{BC}- sđ \overparen{CI}\)) \( (2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(\widehat {BCI} =\displaystyle {1 \over 2} (sđ \overparen{AB}- sđ \overparen{CI})\) \( (3)\)
Lại có: \(\widehat {ANB} = \displaystyle {1 \over 2} (sđ \overparen{AB}- sđ \overparen{CI})\) (góc có ở đỉnh bên ngoài đường tròn) \( (4)\)
Từ \((3)\) và \((4)\) suy ra: \(\widehat {ANB} = \widehat {BCI}\)
\(b)\) Xét đường tròn \((O)\) có: \(\widehat {CBI} =\displaystyle {1 \over 2} sđ \overparen{CI}\) (tính chất góc nội tiếp)
Hay \(\widehat {CBI} = \displaystyle{1 \over 2} (sđ \overparen{BC}- sđ \overparen{BI}\)) \( (5)\)
Từ \((1)\) và \((5)\) suy ra: \(\widehat {CBI} = \displaystyle{1 \over 2} (sđ \overparen{AC}- sđ \overparen{BI}\)) \((6)\)
Lại có: \(\widehat {AMC} = \displaystyle{1 \over 2} (sđ \overparen{AC}- sđ \overparen{BI}\)) (góc có đỉnh bên ngoài đường tròn) \((7)\)
Từ \((6)\) và \((7)\) suy ra: \(\widehat {AMC} = \widehat {CBI}\).
Ta sử dụng kiến thức:
+) Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.
+) Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
+) Nếu \(C\) là một điểm trên cung \(AB\) thì \(sđ \overparen{AB}=sđ \overparen{AC}+sđ \overparen{CB}.\)
+) Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.
Lời giải chi tiết
Vì \(AB = AC = BC (gt)\)
Suy ra các cung nhỏ \(\overparen{AB} = \overparen{AC} = \overparen{BC}\) \((1)\)
\(a)\) Xét đường tròn \((O)\) có: \(\widehat {BCI} = \displaystyle {1 \over 2} sđ \overparen{BI}\) (tính chất góc nội tiếp)
hay \(\widehat {BCI} = \displaystyle{1 \over 2} (sđ \overparen{BC}- sđ \overparen{CI}\)) \( (2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(\widehat {BCI} =\displaystyle {1 \over 2} (sđ \overparen{AB}- sđ \overparen{CI})\) \( (3)\)
Lại có: \(\widehat {ANB} = \displaystyle {1 \over 2} (sđ \overparen{AB}- sđ \overparen{CI})\) (góc có ở đỉnh bên ngoài đường tròn) \( (4)\)
Từ \((3)\) và \((4)\) suy ra: \(\widehat {ANB} = \widehat {BCI}\)
\(b)\) Xét đường tròn \((O)\) có: \(\widehat {CBI} =\displaystyle {1 \over 2} sđ \overparen{CI}\) (tính chất góc nội tiếp)
Hay \(\widehat {CBI} = \displaystyle{1 \over 2} (sđ \overparen{BC}- sđ \overparen{BI}\)) \( (5)\)
Từ \((1)\) và \((5)\) suy ra: \(\widehat {CBI} = \displaystyle{1 \over 2} (sđ \overparen{AC}- sđ \overparen{BI}\)) \((6)\)
Lại có: \(\widehat {AMC} = \displaystyle{1 \over 2} (sđ \overparen{AC}- sđ \overparen{BI}\)) (góc có đỉnh bên ngoài đường tròn) \((7)\)
Từ \((6)\) và \((7)\) suy ra: \(\widehat {AMC} = \widehat {CBI}\).