Google
Câu hỏi: Cho \(C\) là một điểm nằm trên cung lớn \(AB\) của đường tròn \((O).\) Điểm \(C\) chia cung lớn \(\overparen{AB}\) thành hai cung \(\overparen{AC}\) và \(\overparen{CB}.\) Chứng minh rằng cung lớn \(\overparen{AB}\) có \(sđ \overparen{AB} = sđ \overparen{AC} = sđ \overparen{CB}.\)
Hướng dẫn: Xét \(3\) trường hợp:
\(a)\) Tia \(OC\) nằm trong góc đối đỉnh của góc ở tâm \(\widehat{AOB}.\)
\(b)\) Tia \(OC\) trùng với tia đối của một cạnh của góc ở tâm \(\widehat{AOB}.\)
\(c)\) Tia \(OC\) nằm trong một góc kề bù với góc ở tâm \(\widehat{AOB}.\)
Hướng dẫn: Xét \(3\) trường hợp:
\(a)\) Tia \(OC\) nằm trong góc đối đỉnh của góc ở tâm \(\widehat{AOB}.\)
\(b)\) Tia \(OC\) trùng với tia đối của một cạnh của góc ở tâm \(\widehat{AOB}.\)
\(c)\) Tia \(OC\) nằm trong một góc kề bù với góc ở tâm \(\widehat{AOB}.\)
Phương pháp giải
Ta sử dụng kiến thức:
+) Nếu \(C\) là một điểm trên cung \(AB\) thì: \(sđ \overparen{AB}=sđ \overparen{AC}+sđ \overparen{CB}.\)
+) Số đo của nửa đường tròn bằng \(180^o.\)
+) Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa \(360^o\) và số đo cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn).
+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.
Lời giải chi tiết
\(a)\) Trường hợp tia \(OC\) nằm trong góc đối đỉnh với \(\widehat {AOB}\)
Kẻ đường kính \(CD\)
Suy ra: \(OD\) nằm giữa \(OA\) và \(OB\) nên điểm \(D\) nằm trên cung nhỏ cung \(\overparen{AB}\)
\(\Rightarrow sđ \overparen{AD}(nhỏ) + sđ \overparen{BD}(nhỏ) \)\(= sđ \overparen{AB}(nhỏ)\) \((1)\)
Vì \(OA\) nằm giữa \(OC\) và \(OD\) nên điểm \(A\) nằm trên cung nửa đường tròn \(CD.\)
\( \Rightarrow\)\( sđ \overparen{AD}(nhỏ) + sđ \overparen{AC}(nhỏ)\)\( =180^o\) \((2)\)
Vì \(OB\) nằm giữa \(OC\) và \(OD\) nên điểm \(B\) nằm trên cung nửa đường tròn \(CD.\)
\( \Rightarrow sđ \overparen{BD}(nhỏ) + sđ \overparen{BC}(nhỏ) \)\(=180^o\) \((3)\)
Cộng từng vế \((2)\) và \((3):\)
\(sđ \overparen{AD}(nhỏ) + sđ \overparen{AC}(nhỏ) \)\(+ sđ \overparen{BD}(nhỏ) + sđ \overparen{BC}(nhỏ) \)\(=360^o\) \( (4)\)
Từ \((1)\) và \((4)\) suy ra: \(sđ \overparen{AC}(nhỏ) + sđ \overparen{BC}(nhỏ) \)\(+ sđ \overparen{AB}(nhỏ) =360^o\)
\( \Rightarrow sđ \overparen{AC}(nhỏ) + sđ \overparen{BC}(nhỏ)\)\( = 360^o- sđ \overparen{AB}(nhỏ)\)
Mà \(360^o - sđ \overparen{AB}(nhỏ) = sđ \overparen{AD}(lớn)\)
Vậy với cung lớn \(\overparen{AB}\) ta có: \(sđ \overparen{AB}= sđ \overparen{AC} + sđ \overparen{BC}\)
b) Trường hợp tia \(OC\) trùng với tia đối của một cạnh của góc ở tâm \(\widehat{AOB}\)
Do tia \(OC\) trùng với tia đối của một cạnh của góc ở tâm \(\widehat{AOB}\), ta có:
\(\widehat {AOB} + \widehat {BOC} = {180^o}\); \(\widehat {AOC} = {180^o}\)
\( \Rightarrow \widehat {AOB} + \widehat {BOC} + \widehat {AOC} = {360^o}\)
\( \Rightarrow \widehat {AOC} + \widehat {BOC} = {360^o} - \widehat {AOB}\)
Suy ra: \(sđ \overparen{AB} + sđ\overparen{BC} (nhỏ) \)\(=360^o - sđ \overparen{AB} (nhỏ)\)
Vậy với cung lớn \(\overparen{AB}\) ta có: \(sđ \overparen{AB} = sđ \overparen{AC} (nhỏ) + sđ \overparen{BC} \)
c) Trong hợp tia \(OC\) nằm trong góc kề bù với góc ở tâm \(\widehat{AOB}\)
Kẻ đường kính \(AE.\)
Theo trường hợp \(b)\) ta có:
\(sđ \overparen{AB} (lớn) \)\(= sđ \overparen{AE} (nhỏ) + sđ \overparen{BE} (nhỏ)\)
Ta xét trường hợp \(C\) nằm trên cung nhỏ \(\overparen{EB}:\)
\(sđ \overparen{EB} (nhỏ) \)\(= sđ\overparen{EC} (nhỏ) + sđ \overparen{CB} (nhỏ)\)
\( \Rightarrow \) \(sđ \overparen{AB} (lớn) = sđ\overparen{AE} \)\(+ sđ \overparen{EC} (nhỏ) + sđ\overparen{CB} (nhỏ)\)
Theo kết quả trường hợp \(b)\) ta có:
\(sđ \overparen{AE} + sđ \overparen{EC} (nhỏ)= sđ \overparen{AC} (lớn)\)
Vậy với cung \(\overparen{AB}\) lớn ta có: \(sđ \overparen{AB} = sđ\overparen{AC} + sđ \overparen{CB}\)
Trong trường hợp \(OC\) nằm trên góc đối với góc ở tâm \(\widehat {BOE}\) chứng minh tương tự.
Trong trường hợp \(OC\) nằm trên góc đối đỉnh với góc ở tâm \(\widehat {AOB}\) chứng minh ở trường hợp \(a).\)
Ta sử dụng kiến thức:
+) Nếu \(C\) là một điểm trên cung \(AB\) thì: \(sđ \overparen{AB}=sđ \overparen{AC}+sđ \overparen{CB}.\)
+) Số đo của nửa đường tròn bằng \(180^o.\)
+) Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa \(360^o\) và số đo cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn).
+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.
Lời giải chi tiết
\(a)\) Trường hợp tia \(OC\) nằm trong góc đối đỉnh với \(\widehat {AOB}\)
Kẻ đường kính \(CD\)
Suy ra: \(OD\) nằm giữa \(OA\) và \(OB\) nên điểm \(D\) nằm trên cung nhỏ cung \(\overparen{AB}\)
\(\Rightarrow sđ \overparen{AD}(nhỏ) + sđ \overparen{BD}(nhỏ) \)\(= sđ \overparen{AB}(nhỏ)\) \((1)\)
Vì \(OA\) nằm giữa \(OC\) và \(OD\) nên điểm \(A\) nằm trên cung nửa đường tròn \(CD.\)
\( \Rightarrow\)\( sđ \overparen{AD}(nhỏ) + sđ \overparen{AC}(nhỏ)\)\( =180^o\) \((2)\)
Vì \(OB\) nằm giữa \(OC\) và \(OD\) nên điểm \(B\) nằm trên cung nửa đường tròn \(CD.\)
\( \Rightarrow sđ \overparen{BD}(nhỏ) + sđ \overparen{BC}(nhỏ) \)\(=180^o\) \((3)\)
Cộng từng vế \((2)\) và \((3):\)
\(sđ \overparen{AD}(nhỏ) + sđ \overparen{AC}(nhỏ) \)\(+ sđ \overparen{BD}(nhỏ) + sđ \overparen{BC}(nhỏ) \)\(=360^o\) \( (4)\)
Từ \((1)\) và \((4)\) suy ra: \(sđ \overparen{AC}(nhỏ) + sđ \overparen{BC}(nhỏ) \)\(+ sđ \overparen{AB}(nhỏ) =360^o\)
\( \Rightarrow sđ \overparen{AC}(nhỏ) + sđ \overparen{BC}(nhỏ)\)\( = 360^o- sđ \overparen{AB}(nhỏ)\)
Mà \(360^o - sđ \overparen{AB}(nhỏ) = sđ \overparen{AD}(lớn)\)
Vậy với cung lớn \(\overparen{AB}\) ta có: \(sđ \overparen{AB}= sđ \overparen{AC} + sđ \overparen{BC}\)
b) Trường hợp tia \(OC\) trùng với tia đối của một cạnh của góc ở tâm \(\widehat{AOB}\)
Do tia \(OC\) trùng với tia đối của một cạnh của góc ở tâm \(\widehat{AOB}\), ta có:
\(\widehat {AOB} + \widehat {BOC} = {180^o}\); \(\widehat {AOC} = {180^o}\)
\( \Rightarrow \widehat {AOB} + \widehat {BOC} + \widehat {AOC} = {360^o}\)
\( \Rightarrow \widehat {AOC} + \widehat {BOC} = {360^o} - \widehat {AOB}\)
Suy ra: \(sđ \overparen{AB} + sđ\overparen{BC} (nhỏ) \)\(=360^o - sđ \overparen{AB} (nhỏ)\)
Vậy với cung lớn \(\overparen{AB}\) ta có: \(sđ \overparen{AB} = sđ \overparen{AC} (nhỏ) + sđ \overparen{BC} \)
c) Trong hợp tia \(OC\) nằm trong góc kề bù với góc ở tâm \(\widehat{AOB}\)
Kẻ đường kính \(AE.\)
Theo trường hợp \(b)\) ta có:
\(sđ \overparen{AB} (lớn) \)\(= sđ \overparen{AE} (nhỏ) + sđ \overparen{BE} (nhỏ)\)
Ta xét trường hợp \(C\) nằm trên cung nhỏ \(\overparen{EB}:\)
\(sđ \overparen{EB} (nhỏ) \)\(= sđ\overparen{EC} (nhỏ) + sđ \overparen{CB} (nhỏ)\)
\( \Rightarrow \) \(sđ \overparen{AB} (lớn) = sđ\overparen{AE} \)\(+ sđ \overparen{EC} (nhỏ) + sđ\overparen{CB} (nhỏ)\)
Theo kết quả trường hợp \(b)\) ta có:
\(sđ \overparen{AE} + sđ \overparen{EC} (nhỏ)= sđ \overparen{AC} (lớn)\)
Vậy với cung \(\overparen{AB}\) lớn ta có: \(sđ \overparen{AB} = sđ\overparen{AC} + sđ \overparen{CB}\)
Trong trường hợp \(OC\) nằm trên góc đối với góc ở tâm \(\widehat {BOE}\) chứng minh tương tự.
Trong trường hợp \(OC\) nằm trên góc đối đỉnh với góc ở tâm \(\widehat {AOB}\) chứng minh ở trường hợp \(a).\)