Google
Câu hỏi: Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.\)
a) Tìm điểm M nằm trên \(\Delta \) và cách điểm \(A(0; 1)\) một khoảng bằng \(5\).
b) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng \(\Delta \) với đường thẳng \(x + y + 1 = 0\).
c) Tìm \(M\) trên \(\Delta \) sao cho \(AM \) ngắn nhất.
a) Tìm điểm M nằm trên \(\Delta \) và cách điểm \(A(0; 1)\) một khoảng bằng \(5\).
b) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng \(\Delta \) với đường thẳng \(x + y + 1 = 0\).
c) Tìm \(M\) trên \(\Delta \) sao cho \(AM \) ngắn nhất.
Phương pháp giải
a) Gọi tọa độ \(M\) theo tham tham số dựa vào phương trình \(\Delta \).
Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm và tìm tham số.
b) Gọi tọa độ của \(M\) theo tham số của \(\Delta \).
Thay vào phương trình \(d\) tìm tham số và kết luận.
c) \(AM\) ngắn nhất \(\Leftrightarrow \overrightarrow {AM} \bot {\overrightarrow u _\Delta }\).
Lời giải chi tiết
a) Gọi \(M(2 + 2t; 3 + t) \in \Delta \); A(0; 1)
\(\begin{array}{l}
AM = 5\\
\Leftrightarrow \sqrt {{{\left({2 + 2t - 0} \right)}^2} + {{\left({3 + t - 1} \right)}^2}} = 5\\
\Leftrightarrow \sqrt {{{\left({2 + 2t} \right)}^2} + {{\left({2 + t} \right)}^2}} = 5\\
\Leftrightarrow {\left({2 + 2t} \right)^2} + {\left({2 + t} \right)^2} = 25
\end{array}\)
\(\Leftrightarrow 5{t^2} + 12t - 17 = 0 \)
\(\Leftrightarrow t = 1 \) hoặc \(t = - \dfrac{{17}}{5}\)
Vậy \(M\) có tọa độ là \((4; 4)\) hay \(\left( {\dfrac{{ - 24}}{5};\dfrac{{ - 2}}{5}} \right)\)
b) \(M(2 + 2t; 3 + t) \in \Delta .\)
\(M \in d\) \(\Leftrightarrow 2 + 2t + 3 + t + 1 = 0\) \(\Leftrightarrow t = - 2\)
Vậy \(M\) có tọa độ là \((-2; 1)\).
c) \(M(2 + 2t; 3 + t) \in \Delta .\)
\(\overrightarrow {AM} = (2 + 2t; 2 + t)\), \({\overrightarrow u _\Delta } = (2; 1)\)
Gọi H là hình chiếu của A lên \(\Delta\).
Khi đó \(AM\ge AH\) nên \(AM\) ngắn nhất bằng AH khi \(M \equiv H\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {AM} \bot {\overrightarrow u _\Delta }\)
\(\Leftrightarrow 2(2 + 2t) + (2 + t) = 0 \)
\(\Leftrightarrow t = - \dfrac{6}{5}\)
Vậy M có tọa độ là \(\left( { - \dfrac{2}{5};\dfrac{9}{5}} \right).\)
a) Gọi tọa độ \(M\) theo tham tham số dựa vào phương trình \(\Delta \).
Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm và tìm tham số.
b) Gọi tọa độ của \(M\) theo tham số của \(\Delta \).
Thay vào phương trình \(d\) tìm tham số và kết luận.
c) \(AM\) ngắn nhất \(\Leftrightarrow \overrightarrow {AM} \bot {\overrightarrow u _\Delta }\).
Lời giải chi tiết
a) Gọi \(M(2 + 2t; 3 + t) \in \Delta \); A(0; 1)
\(\begin{array}{l}
AM = 5\\
\Leftrightarrow \sqrt {{{\left({2 + 2t - 0} \right)}^2} + {{\left({3 + t - 1} \right)}^2}} = 5\\
\Leftrightarrow \sqrt {{{\left({2 + 2t} \right)}^2} + {{\left({2 + t} \right)}^2}} = 5\\
\Leftrightarrow {\left({2 + 2t} \right)^2} + {\left({2 + t} \right)^2} = 25
\end{array}\)
\(\Leftrightarrow 5{t^2} + 12t - 17 = 0 \)
\(\Leftrightarrow t = 1 \) hoặc \(t = - \dfrac{{17}}{5}\)
Vậy \(M\) có tọa độ là \((4; 4)\) hay \(\left( {\dfrac{{ - 24}}{5};\dfrac{{ - 2}}{5}} \right)\)
b) \(M(2 + 2t; 3 + t) \in \Delta .\)
\(M \in d\) \(\Leftrightarrow 2 + 2t + 3 + t + 1 = 0\) \(\Leftrightarrow t = - 2\)
Vậy \(M\) có tọa độ là \((-2; 1)\).
c) \(M(2 + 2t; 3 + t) \in \Delta .\)
\(\overrightarrow {AM} = (2 + 2t; 2 + t)\), \({\overrightarrow u _\Delta } = (2; 1)\)
Gọi H là hình chiếu của A lên \(\Delta\).
Khi đó \(AM\ge AH\) nên \(AM\) ngắn nhất bằng AH khi \(M \equiv H\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {AM} \bot {\overrightarrow u _\Delta }\)
\(\Leftrightarrow 2(2 + 2t) + (2 + t) = 0 \)
\(\Leftrightarrow t = - \dfrac{6}{5}\)
Vậy M có tọa độ là \(\left( { - \dfrac{2}{5};\dfrac{9}{5}} \right).\)