Bài 23 trang 58 SBT Hình học 12 Nâng cao

Câu hỏi: Cho hìnhchữ nhật ABCD với AB = a, BC = 2a và đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABCD), song song với AD và cách AD một khoảng bằng x, không có điểm chung với hình chữ nhật ABCD.

Câu 1​

Tính thể tích của hình tròn xoay tạo nên khi quay hình chữ nhật ABCD quanh .
Lời giải chi tiết:

Kí hiệu O, O’ lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AB, CD với .
Gọi V là thể tích cần tìm, V2​ là thể tích hình trụ tạo nên khi quay hình chữ nhật OBCO’ quanh (với OA < OB) hoặc hình tạo nên khi quay hình chữ nhật OADO’ quanh (với OA > OB);
V1​ là thể tích hình trụ tạo nên khi quay hình chữ nhật OADO’ quanh (với OA < OB) hoặc hình trụ tạo nên khi quay hình chữ nhật OBCO’ quanh (với OA > OB). Khi đó V = V2 ​- V1​.
Từ đó, với OA < OB thì



và với OA > OB thì

Câu 2​

Xác định x để thể tích nói trên gấp ba lần thể tích hình cầu có bán kính bằng cạnh AB.
Lời giải chi tiết:
Thể tích khối cầu bán kính bằng AB là .
Theo giả thiết ta có
(với OA < OB)
Hoặc (với OA > OB).
Từ đó (với OA < OB) hoặc (với OA > OB).