Bài 2 trang 63 SGK Hình học 12 Nâng cao

Phương pháp giải
- Chứng minh tam giác ABC vuông tại B.
- Từ đó suy ra SH là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác)
- Sử dụng tính chất: "Mọi điểm nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì cách đều ba điểm A, B, C" để dựng tâm mặt cầu.
Lời giải chi tiết

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác ta có:

Trong tam giác vuông có:
Ta có: vuông tại .
Gọi là trung điểm của thì là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Vì nên
Và
Gọi O là điểm đối xứng của S qua H.
Khi đó .
Tam giác OAH vuông tại nên theo Pitago ta có

Lại có SH là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và nên .
Vậy hay là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính .
Cách khác:

Ta có: , nên là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC nằm trên .
Gọi M là trung điểm của SA.
Trong , kẻ đường thẳng đi qua M và vuông góc cắt tại
( là đường trung trực của )
Khi đó:


hay O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC.
Xét và có:
chung


Vậy bán kính .