Bài 2 trang 125 SGK Hình học 11

Phương pháp giải
a) Dựa vào định nghĩa phép vị tự và tính chất trọng tâm của tam giác.
b) Chứng minh hai vectơ cùng phương.
c) Dựa vào định nghĩa phép vị tự.
d) Sử dụng tính chất của phép vị tự: Ảnh của đường tròn qua phép vị tự là 1 đường tròn.
Lời giải chi tiết

A) Ta có
.
Vậy phép vị tự tâm tỉ số biến thành .
b) là trung điểm của dây nên
Ta lại có . Tương tự
Trong tam giác , nên là trực tâm của .
là trực tâm của và là trực tâm của nên là ảnh của trong phép vị tự tâm , tỉ số
Ba điểm thẳng hàng.
c) Gọi ta có:

Suy ra là trung điểm của đoạn thẳng .
d) Gọi A'', B'', C'' lần lượt là trung điểm của AH, BH, CH ta có:

Vậy là ảnh của các điểm trong phép vị tự .
Ta dễ dàng chứng minh được theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng nên:

Như vậy theo thứ tự là ảnh của các điểm trong phép vị tự
e) Gọi theo thứ tự là các điểm xuyên tâm đối của các điểm qua tâm của đường tròn. Ta dễ dàng chứng minh được tứ giác là hình bình hành, do đó và đối xứng qua , ta có:

Như vậy, các điểm theo thứ tự là ảnh của các điểm trong phép vị tự .
Từ đó ta có:
Chín điểm , theo thứ tự là ảnh của các điểm trong phép tự vị mà chín điểm nằm trên đường tròn nên chín điểm nằm trên đường tròn ảnh của đường tròn trong phép vị tự