Câu hỏi: Chứng minh rằng một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của số lẻ mặt thì tổng số các đỉnh của nó là một số chẵn. Cho ví dụ.
Lời giải chi tiết
Giả sử đa diện
Như vậy mỗi đỉnh
Ta có: đỉnh
đỉnh
...
đỉnh
Do đó số các cạnh (có thể trùng nhau) của đa diện là
Tuy nhiên, do mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên số cạnh ở trên được đếm hai lần.
Vậy số cạnh thực tế của
Vì
Ví dụ : Hình chóp ngũ giác.
Đỉnh S là đỉnh chung của 5 mặt, tất cả các đỉnh còn lại là đỉnh chung của 3 mặt, hình chóp ngũ giác có 6 đỉnh.
Giả sử đa diện
Như vậy mỗi đỉnh
Ta có: đỉnh
đỉnh
...
đỉnh
Do đó số các cạnh (có thể trùng nhau) của đa diện là
Tuy nhiên, do mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên số cạnh ở trên được đếm hai lần.
Vậy số cạnh thực tế của
Vì
Ví dụ : Hình chóp ngũ giác.
Đỉnh S là đỉnh chung của 5 mặt, tất cả các đỉnh còn lại là đỉnh chung của 3 mặt, hình chóp ngũ giác có 6 đỉnh.