Bài 2.15 trang 68 SBT hình học 11

Câu hỏi: Cho hình chóp \(S. ABCD\) có đáy là hình thang \(ABCD\) với đáy là \(AD\) và \(BC\). Biết \(AD = a, BC = b\). Gọi \(I\) và \(J\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(SAD\) và \(SBC\). Mặt phẳng \((ADJ)\) cắt \(SB, SC\) lần lượt tại \(M, N\). Mặt phẳng \((BCI)\) cắt \(SA, SD\) lần lượt tại \(P, Q\).

Câu a​

Chứng minh \(MN\) song song với \(PQ\).
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất nếu hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó.
Lời giải chi tiết:

Ta có: \(I ∈ (SAD) ⇒ I ∈ (SAD) ∩ (IBC)\)
Mà
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AD\parallel BC\\AD \subset (SAD)\\BC \subset (IBC)\end{array} \right.\\ \Rightarrow (SAD) \cap (IBC) = {\rm{Ix}} = PQ;\end{array}\)
\(PQ \parallel AD \parallel BC\)
Tương tự: \(J ∈ (SBC) ⇒ J ∈ (SBC) ∩ (JAD)\)
Mà
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AD\parallel BC\\AD \subset (JAD)\\BC \subset (SBC)\end{array} \right.\\ \Rightarrow (JAD) \cap (SBC) = J{\rm{x}} = MN;\end{array}\)
\(MN\parallel BC\parallel AD\)
Suy ra \(PQ \parallel MN\) (vì cùng song song với \(AD, BC\)).

Câu b​

Giả sử \(AM\) cắt \(BP\) tại \(E\); \(CQ\) cắt \(DN\) tại \(F\). Chứng minh rằng \(EF\) song song với \(MN\) và \(PQ\). Tính \(EF\) theo \(a\) và \(b\).
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất nếu hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó.
Sử dụng định lý Talet
Lời giải chi tiết:

Ta có: \(E = AM \cap BP\)
Khi đó \(E \in AM, AM \subset (AMND) \) \(\Rightarrow E \in (AMND)\)
\(E \in BP, BP \subset (PBCQ) \) \(\Rightarrow E \in (PBCQ)\)
Suy ra \(E\in (AMND)\cap(PBCQ)\).
\(F = DN \cap CQ\)
Khi đó \(F \in DN, DN \subset (AMND) \)
\(\Rightarrow F \in (AMND)\\F \in CQ, CQ \subset (PBCQ) \)
\(\Rightarrow F \in (PBCQ)\)
Suy ra \(F\in (AMND)\cap(PBCQ)\)
Do đó: \(EF = (AMND) ∩ (PBCQ)\)
Mà \(AD\parallel BC\) và \(MN\parallel PQ\) suy ra \(EF\parallel AD\parallel BC\parallel MN\parallel PQ \)
Tính \(EF\): \(CP \cap EF = K ⇒ EF = EK + KF\)
\({\rm{EF}}\parallel BC \Rightarrow \dfrac{{EK}}{{BC}} = \dfrac{{PE}}{{PD}}\\PM\parallel AB \Rightarrow \dfrac{{PE}}{{EB}} = \dfrac{{PM}}{{AB}}\)
Mà \(\dfrac{{PM}}{{AB}} = \dfrac{{SP}}{{SA}} = \dfrac{2}{3} \)
\(\Rightarrow \dfrac{{PE}}{{EB}} = \dfrac{2}{3}\)
Suy ra \(\dfrac{{EK}}{{BC}} = \dfrac{{PE}}{{PB}} = \dfrac{{PE}}{{PE + EB}} \)
\(= \dfrac{1}{{1 + \dfrac{{EB}}{{PE}}}} = \dfrac{1}{{1 + \dfrac{3}{2}}} = \dfrac{2}{5}\\ \Rightarrow EK = \dfrac{2}{5}BC = \dfrac{2}{5}b\)
Tương tự ta tính được \(KF = \dfrac{2}{5}a\)
Vậy \({\rm{EF}} = \dfrac{2}{5}a + \dfrac{2}{5}b = \dfrac{2}{5}(a + b)\).