Bài 15 trang 226 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Câu hỏi: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(3; 3; 1), B(0; 2; 1) và mặt phẳng
(P):x+y+z-7=0.

Câu 1​

Viết phương trình đường thẳng AB.
Giải chi tiết:
Đường thẳng AB đi qua có vectơ chỉ phương nên có phương trình :

Câu 2​

Viết phương trình hình chiếu vuông góc của AB trên mp(P).
Giải chi tiết:
Ta nhận thấy A mp(P) nên hình chiếu vuông góc của AB trên mp(P) là đường thẳng AH, trong đó H là hình chiếu của điểm B trên mp(P).
Đường thẳng BH qua và vuông góc với mp(P) nên có phương trình

Do đó toa độ của điểm H thoả mãn hệ:
Giải hệ ta được .
Phương trình đường thẳng AH là

Câu 3​

Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mp(P) và mọi điểm của d cách đều hai điểm A, B
Giải chi tiết:
Đường thẳng d nằm trong mp(P), đồng thời nằm trong mặt phẳng trung trực () của đoạn AB.  Gọi I  là trung điếm AB, ta có
Mặt phẳng () đi qua I  và có vectơ pháp tuyến là  nên có phương trình :             
Vậy d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (). Do đó d có phương trình :

Câu 4​

Viết phương trình đường vuông góc chung của AB và d.
Giải chi tiết:
Vì và nên nếu trong , kẻ đường thẳng IM vuông góc với thì IM chính là đường vuông góc chung của AB và d.
Ta có

Đường thẳng d  có vec tơ chỉ phương là


Vậy đường vuông góc chung của AB và d là đường thẳng qua I và có vec tơ chỉ phương đường thẳng đó có phương trình :

Câu 5​

Tìm điểm K thuộc đường thẳng AB () sao cho
d(K,(P))=d(B,(P)).
Giải chi tiết:
Cách 1.

Với t=1, K=(0; 2; 1) nên nên khi và chỉ khi A là trung điểm của KB. Từ đó suy ra K=(6; 4; 1).

Câu 6​

Tìm điểm C trên đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất.
Giải chi tiết:
Với thì , AB không đổi nên nhỏ nhất khi và chỉ khi IC nhỏ nhấ, tức C là hình chiếu của I trên d.
Vì nên , suy ra
Ta có


Vậy điểm C cần tìm là (chính là điểm M ở câu 4).