Google
Câu hỏi: Có hay không một khối đa diện gồm một số lẻ mặt mà mỗi mặt có một số lẻ cạnh ?
Lời giải chi tiết
Giả sử tồn tại một khối đa diện H gồm k mặt và c cạnh thoả mãn yêu cầu của bài toán. Gọi c1 là số cạnh của mặt thứ nhất, c2 là số cạnh của mặt thứ hai, ..., ck là số cạnh của mặt thứ k. Theo giả thiết thì k, c1 , c2,.., ck là những số lẻ. Vì mỗi cạnh thuộc đúng hai mặt nên ta có :
\({c_1} + {c_2} + ... + {c_k} = 2c.\)
Điều này là vô lí vì vế trái của đẳng thức trên là một số lẻ, còn vế phải là một số chẵn. Vậy không có khối đa diện nào thoả mãn yêu cầu của bài toán.
Giả sử tồn tại một khối đa diện H gồm k mặt và c cạnh thoả mãn yêu cầu của bài toán. Gọi c1 là số cạnh của mặt thứ nhất, c2 là số cạnh của mặt thứ hai, ..., ck là số cạnh của mặt thứ k. Theo giả thiết thì k, c1 , c2,.., ck là những số lẻ. Vì mỗi cạnh thuộc đúng hai mặt nên ta có :
\({c_1} + {c_2} + ... + {c_k} = 2c.\)
Điều này là vô lí vì vế trái của đẳng thức trên là một số lẻ, còn vế phải là một số chẵn. Vậy không có khối đa diện nào thoả mãn yêu cầu của bài toán.