Bài 14 trang 225 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Câu hỏi: Trong không gian Oxyz cho mp(P) và đường thẳng

Câu 1​

Tim toạ độ giao điểm A của d và (P).
Giải chi tiết:
Phương trình tham số của d: 
Toạ độ giao điểm A của đường thẳng d với mp(P) thoả mãn hệ :

Câu 2​

Tính góc giữa đường thẳng d và mp(P).
Giải chi tiết:
Gọi  là góc giữa đường thẳng d và mp(P). d có vectơ chỉ phương  (P) có vectơ pháp tuyến  nên

Câu 3​

Viết phương trình mp(Q) chứa đường thẳng d và vuông góc với mp(P).
Giải chi tiết:
Vì (Q) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mp(P) nên mp(Q) chứa điểm và có vectơ pháp tuyến là
                  
Suy ra phương trình mp(Q) là:

Câu 4​

Viết phương trình hình chiếu vuông góc d' của d trên mp(P).
Giải chi tiết:
d' chính là đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).  Vì vậy, điểm  khi và chỉ khi thoả mãn hệ

hay d' có phương trình tham số là :

Câu 5​

Viết phương trình đường thẳng nằm trong mp(P)  chứa A và vuông góc với đường thẳng d.
Giải chi tiết:
Gọi là đường thẳng nằm trong mpc(P), đi qua điểm và vuông góc với đường thẳng d.  Khi đó, có vectơ chỉ phương nên có phương trình chính tắc là

Câu 6​

Viết phương trình mặt cầu có tâm I nằm trên đường thẳng d,  tiếp xúc với mp(P) và có bán kính
Giải chi tiết:
Vì  nên
Mặt cầu tâm I tiếp xúc với mp(P) và có bán kính . Và khi và chỉ khi  hay



Vậy có hai mặt cầu thoả mản yêu cầu đặt ra là:

Câu 7​

Viết phương trình mp(R) chứa đường thẳng d và tạo với mp(P) một góc nhỏ nhất.
Giải chi tiết:
Cách 1.  Ta tìm hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng d.
Cho t = 0, ta được  ta được
Giả sử mặt phẳng (R) cần tìm có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 với
Vì M, N mp(R)
            
Do đó
Ta có
Gọi góc giữa hai mặt phẳng (R) và (P) thì:
      
Trường hợp A + B = 0, ta có  = 90° là góc lớn nhất trong các góc có thể có giữa hai mặt phẳng (P) và (R), loại.
Trường hợp , ta có


suy ra
Dấu = xảy ra khi A = 0. Khi đó B  0 (vì nếu B = 0 thì C = 0, vô lí).
Ta chọn B = 1 thì
Vậy mp(R) chứa đường thẳng d và tạo với mp(P) một góc nhỏ nhất (bằng 30°) có phương trình là :
                                 
Cách 2. (h. 117)

Xét mặt phẳng (Q) thay đổi đi qua đường thẳng d, cắt mp(P) theo giao tuyến   Vì nên .
Lấy một điểm K cố định trên d (KA). Gọi H là hình chiếu của K trên mp(P), I là hình chiếu của H trên ' thì HI và KI cùng vuông góc với '
nên  là góc giữa mp(P) và mp(Q).
Ta có tan  mà KH không đổi khi (Q) thay đổi và nên
nhỏ nhất <=> tan nhỏ nhất <=> HI lớn nhất <=> I trùng A hay tại A, tức là ' trùng ( nói ở câu 5).
Vậy mp(R) chứa đường thẳng d và tạo với mp(P) một góc nhỏ nhất khi và chỉ khi mp(R) chứa d và ( nằm trên (P), đi qua A và vuông góc với d.
Ta có nên (R) có vectơ pháp tuyến là
Vì mp(R) đi qua nên có phưomg trình là
hay
Loigiaihay. Com