Bài 13 trang 225 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Câu hỏi: Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(1; 0 ; 2), B(1; 1 ; 0), C(0; 0 ; 1) và D(1; 1 ; 1).

Câu 1​

Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một khối tứ diện.
Giải chi tiết:



=> A, B, C, D không đồng phẳng hay A, B, C, D là bốn đỉnh của một khối tứ diện.

Câu 2​

Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Giải chi tiết:

Câu 3​

Viết phương trình đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D.
Giải chi tiết:
Vectơ chỉ phương của đường cao tứ diện hạ từ đỉnh D có thế lấy là vectơ pháp tuyến của mp(ABC) hay vectơ
Vậy đường cao đó có phương trình chính tắc là

Câu 4​

Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Giải chi tiết:
Phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng

Do A, B, C, D thuộc (S) nên ta có hệ phương trình

Giải hệ ta có :
Vậy phương trình mặt cầu (S) là

Suy ra (S) có tâm là và bán kính

Câu 5​

Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại đỉnh A.
Giải chi tiết:
Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A có vectơ pháp tuyến là

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là

Câu 6​

Xác định toạ độ của điểm A' đối xứng với điểm A qua mp(BCD).
Giải chi tiết:
Ta viết phương trình mp(BCD), đó là mặt phẳng đi qua và các vectơ pháp tuyến
Vậy mp(BCD) có phương trình :
Đường thẳng qua A và vuông góc với mp(BCD) có phương trình là
            
Gọi K là giao điểm của đường thẳng này với mp(BCD), toạ độ của K là nghiệm của hệ
           
Vì A ' là điểm đối xứng với A qua mp(BCD) nên ta có
            

Câu 7​

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD.
Giải chi tiết:
Dễ dàng nhận thấy BD song song với mp(xOz) mà mp(xOz) chứa AC nên