Google
Câu hỏi: Giải các phương trình sau:
Lời giải chi tiết:
Điều kiện \(\sin 3x \ne 0\).
\(\sin \left( {{\pi \over 2} + 2x} \right)\cot 3x + \sin \left({\pi + 2x} \right) \)\(- \sqrt 2 \cos 5x = 0\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \sin \left({{\pi \over 2} + 2x} \right)\cot 3x + \sin \left({\pi + 2x} \right) - \sqrt 2 \cos 5x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos 2x{{\cos 3x} \over {\sin 3x}} - \sin 2x - \sqrt 2 \cos 5x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos 2x\cos 3x - \sin 2x\sin 3x - \sqrt 2 \sin 3x\cos 5x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos 5x\left({1 - \sqrt 2 \sin 3x} \right) = 0 \cr} \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 5x = 0\\
\sin 3x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
5x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
3x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\
3x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{{10}} + \frac{{k\pi }}{5}\\
x = \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k2\pi }}{3}\\
x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k2\pi }}{3}
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy \(x = {\pi \over {10}} + {{k\pi } \over 5}, x = {\pi \over {12}} + {{2k\pi } \over 3},\)\(x = {\pi \over 4} + {{2k\pi } \over 3}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có \({\tan ^2}x = {{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} = {{1 - \cos 2x} \over {1 + \cos 2x}}\) và \(\cos 4x = 2{\cos ^2}2x - 1.\)
Điều kiện \(\cos 2x \ne - 1,\) phương trình đã cho có thể biến đổi như sau:
\({\tan ^2}x + \cos 4x = 0 \)
\(\Leftrightarrow {{1 - \cos 2x} \over {1 + \cos 2x}} = 1 -2 {\cos ^2}2x\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 1 - \cos 2x = \left({1 - 2{{\cos }^2}2x} \right)\left({1 + \cos 2x} \right)\\
\Leftrightarrow 1 - \cos 2x = 1 - 2{\cos ^2}2x + \cos 2x - 2{\cos ^3}2x\\
\Leftrightarrow 2{\cos ^3}2x + 2{\cos ^2}2x - 2\cos 2x = 0\\
\Leftrightarrow 2\cos 2x\left({{{\cos }^2}2x + \cos 2x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = 0\\
{\cos ^2}2x + \cos 2x - 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = 0\\
\cos 2x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\
\cos 2x = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\left({VN} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
2x = \pm \arccos \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\
x = \pm \frac{1}{2}\arccos \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& 9\sin x + 6\cos x - 3\sin 2x + \cos 2x = 8 \cr
& \Leftrightarrow 9\sin x + 6\cos x - 6\sin x\cos x + 2{\cos ^2}x - 1 - 8=0 \cr
& \Leftrightarrow 9\left({\sin x - 1} \right) - 6\cos x\left({\sin x - 1} \right) + 2\left({1 - \sin x} \right)\left({1 + \sin x} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left({\sin x - 1} \right)\left({7 - 6\cos x - 2\sin x} \right) = 0 \cr} \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x - 1 = 0\\
2\sin x + 6\cos x = 7
\end{array} \right.\)
Phương trình \(2\sin x + 6\cos x = 7\) vô nghiệm do \({2^2} + {6^2} < {7^2}\).
Do đó \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& {\sin ^4}\left({x + {\pi \over 4}} \right) = {1 \over 4} + {\cos ^2}x - {\cos ^4}x\cr& \Leftrightarrow {1 \over 4}{\left[ {1 - \cos \left({2x + {\pi \over 2}} \right)} \right]^2} = {1 \over 4} + {\cos ^2}x - {\cos ^4}x \cr
& \Leftrightarrow {1 \over 4}{\left({1 + \sin 2x} \right)^2} = {1 \over 4} + {\cos ^2}x\left({1 - {{\cos }^2}x} \right) \cr
& \Leftrightarrow {1 \over 2}\sin 2x + {1 \over 4}{\sin ^2}2x = {1 \over 4}\left({1 + \cos 2x} \right)\left({1 - \cos 2x} \right) \cr
& \Leftrightarrow {1 \over 2}\sin 2x + {1 \over 4}{\sin ^2}2x = {1 \over 4}\left({1 - {{\cos }^2}2x} \right) \cr} \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 2\sin 2x + {\sin ^2}2x = 1 - {\cos ^2}2x\\
\Leftrightarrow 2\sin 2x + {\sin ^2}2x = {\sin ^2}2x\\
\Leftrightarrow \sin 2x = 0\\
\Leftrightarrow 2x = k\pi \\
\Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2}
\end{array}\)
Vậy \(x = {{k\pi } \over 2}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& \left({2\sin x + 1} \right)\left({3\cos 4x + 2\sin x - 4} \right) + 4{\cos ^2}x = 3 \cr
& \Leftrightarrow 6\sin x\cos 4x + 4{\sin ^2}x - 8\sin x \cr&+ 3\cos 4x + 2\sin x - 4 + 4{\cos ^2}x - 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 6\sin x\cos 4x + 3\cos 4x - 6\sin x - 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left({6\sin x\cos 4x - 6\sin x} \right) + \left({3\cos 4x - 3} \right) = 0 \cr&\Leftrightarrow 6\sin x\left({\cos 4x - 1} \right) + 3\left({\cos 4x - 1} \right) = 0\cr& \Leftrightarrow 3 \left({2\sin x + 1} \right)\left({\cos 4x - 1} \right) = 0 \cr} \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = - \frac{1}{2}\\
\cos 4x = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \\
x = \frac{{k\pi }}{2}
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy \(x = {{k\pi } \over 2}, x = - {\pi \over 6} + 2k\pi ,\)\(x = {{7\pi } \over 6} + 2k\pi \).
Lời giải chi tiết:
Do \(\sqrt 2 \sin \left( {x + {\pi \over 4}} \right) = \sin x + \cos x\) nên phương trình đã cho có thể biến đổi như sau:
\(\sqrt 2 {\sin ^3}\left( {x + {\pi \over 4}} \right) = 2\sin x \)
\(\Leftrightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^3} = 4\sin x\)
Dễ thấy \(\cos x=0\) không thỏa mãn phương trình trên.
Với điều kiện \(\cos x \ne 0,\) ta chia hai vế của phương trình cho \({\cos ^3}x\ne 0\) ta được:
\(\begin{array}{l}
{\left({\sin x + \cos x} \right)^3} = 4\sin x\\
\Leftrightarrow \frac{{{{\left({\sin x + \cos x} \right)}^3}}}{{{{\cos }^3}x}} = \frac{{4\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}\\
\Leftrightarrow {\left({\frac{{\sin x + \cos x}}{{\cos x}}} \right)^3} = \frac{{4\sin x}}{{\cos x}}.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\
\Leftrightarrow {\left({\tan x + 1} \right)^3} = 4\tan x\left({1 + {{\tan }^2}x} \right)\\
\Leftrightarrow {\tan ^3}x + 3{\tan ^2}x + 3\tan x + 1 = 4\tan x + 4{\tan ^3}x\\
\Leftrightarrow 3{\tan ^3}x - 3{\tan ^2}x + \tan x - 1 = 0\\
\Leftrightarrow 3{\tan ^2}x\left({\tan x - 1} \right) + \left({\tan x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left({\tan x - 1} \right)\left({3{{\tan }^2}x + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \tan x - 1 = 0 \left({do 3{{\tan }^2}x + 1 > 0} \right)\\
\Leftrightarrow \tan x = 1\\
\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi
\end{array}\)
Vậy \(x = {\pi \over 4} + k\pi \).
Câu a
\(\sin \left( {{\pi \over 2} + 2x} \right)\cot 3x + \sin \left({\pi + 2x} \right) \)\(- \sqrt 2 \cos 5x = 0\)Lời giải chi tiết:
Điều kiện \(\sin 3x \ne 0\).
\(\sin \left( {{\pi \over 2} + 2x} \right)\cot 3x + \sin \left({\pi + 2x} \right) \)\(- \sqrt 2 \cos 5x = 0\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \sin \left({{\pi \over 2} + 2x} \right)\cot 3x + \sin \left({\pi + 2x} \right) - \sqrt 2 \cos 5x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos 2x{{\cos 3x} \over {\sin 3x}} - \sin 2x - \sqrt 2 \cos 5x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos 2x\cos 3x - \sin 2x\sin 3x - \sqrt 2 \sin 3x\cos 5x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos 5x\left({1 - \sqrt 2 \sin 3x} \right) = 0 \cr} \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 5x = 0\\
\sin 3x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
5x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
3x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\
3x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{{10}} + \frac{{k\pi }}{5}\\
x = \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k2\pi }}{3}\\
x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k2\pi }}{3}
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy \(x = {\pi \over {10}} + {{k\pi } \over 5}, x = {\pi \over {12}} + {{2k\pi } \over 3},\)\(x = {\pi \over 4} + {{2k\pi } \over 3}\).
Câu b
\({\tan ^2}x + \cos 4x = 0\)Lời giải chi tiết:
Ta có \({\tan ^2}x = {{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} = {{1 - \cos 2x} \over {1 + \cos 2x}}\) và \(\cos 4x = 2{\cos ^2}2x - 1.\)
Điều kiện \(\cos 2x \ne - 1,\) phương trình đã cho có thể biến đổi như sau:
\({\tan ^2}x + \cos 4x = 0 \)
\(\Leftrightarrow {{1 - \cos 2x} \over {1 + \cos 2x}} = 1 -2 {\cos ^2}2x\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 1 - \cos 2x = \left({1 - 2{{\cos }^2}2x} \right)\left({1 + \cos 2x} \right)\\
\Leftrightarrow 1 - \cos 2x = 1 - 2{\cos ^2}2x + \cos 2x - 2{\cos ^3}2x\\
\Leftrightarrow 2{\cos ^3}2x + 2{\cos ^2}2x - 2\cos 2x = 0\\
\Leftrightarrow 2\cos 2x\left({{{\cos }^2}2x + \cos 2x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = 0\\
{\cos ^2}2x + \cos 2x - 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = 0\\
\cos 2x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\
\cos 2x = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\left({VN} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
2x = \pm \arccos \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\
x = \pm \frac{1}{2}\arccos \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)
Câu c
\(9\sin x + 6\cos x - 3\sin 2x + \cos 2x = 8\)Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& 9\sin x + 6\cos x - 3\sin 2x + \cos 2x = 8 \cr
& \Leftrightarrow 9\sin x + 6\cos x - 6\sin x\cos x + 2{\cos ^2}x - 1 - 8=0 \cr
& \Leftrightarrow 9\left({\sin x - 1} \right) - 6\cos x\left({\sin x - 1} \right) + 2\left({1 - \sin x} \right)\left({1 + \sin x} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left({\sin x - 1} \right)\left({7 - 6\cos x - 2\sin x} \right) = 0 \cr} \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x - 1 = 0\\
2\sin x + 6\cos x = 7
\end{array} \right.\)
Phương trình \(2\sin x + 6\cos x = 7\) vô nghiệm do \({2^2} + {6^2} < {7^2}\).
Do đó \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \).
Câu d
\({\sin ^4}\left( {x + {\pi \over 4}} \right) = {1 \over 4} + {\cos ^2}x - {\cos ^4}x\)Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& {\sin ^4}\left({x + {\pi \over 4}} \right) = {1 \over 4} + {\cos ^2}x - {\cos ^4}x\cr& \Leftrightarrow {1 \over 4}{\left[ {1 - \cos \left({2x + {\pi \over 2}} \right)} \right]^2} = {1 \over 4} + {\cos ^2}x - {\cos ^4}x \cr
& \Leftrightarrow {1 \over 4}{\left({1 + \sin 2x} \right)^2} = {1 \over 4} + {\cos ^2}x\left({1 - {{\cos }^2}x} \right) \cr
& \Leftrightarrow {1 \over 2}\sin 2x + {1 \over 4}{\sin ^2}2x = {1 \over 4}\left({1 + \cos 2x} \right)\left({1 - \cos 2x} \right) \cr
& \Leftrightarrow {1 \over 2}\sin 2x + {1 \over 4}{\sin ^2}2x = {1 \over 4}\left({1 - {{\cos }^2}2x} \right) \cr} \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 2\sin 2x + {\sin ^2}2x = 1 - {\cos ^2}2x\\
\Leftrightarrow 2\sin 2x + {\sin ^2}2x = {\sin ^2}2x\\
\Leftrightarrow \sin 2x = 0\\
\Leftrightarrow 2x = k\pi \\
\Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2}
\end{array}\)
Vậy \(x = {{k\pi } \over 2}\).
Câu e
\(\left( {2\sin x + 1} \right)\left({3\cos 4x + 2\sin x - 4} \right) + 4{\cos ^2}x = 3\)Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& \left({2\sin x + 1} \right)\left({3\cos 4x + 2\sin x - 4} \right) + 4{\cos ^2}x = 3 \cr
& \Leftrightarrow 6\sin x\cos 4x + 4{\sin ^2}x - 8\sin x \cr&+ 3\cos 4x + 2\sin x - 4 + 4{\cos ^2}x - 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 6\sin x\cos 4x + 3\cos 4x - 6\sin x - 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left({6\sin x\cos 4x - 6\sin x} \right) + \left({3\cos 4x - 3} \right) = 0 \cr&\Leftrightarrow 6\sin x\left({\cos 4x - 1} \right) + 3\left({\cos 4x - 1} \right) = 0\cr& \Leftrightarrow 3 \left({2\sin x + 1} \right)\left({\cos 4x - 1} \right) = 0 \cr} \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = - \frac{1}{2}\\
\cos 4x = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \\
x = \frac{{k\pi }}{2}
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy \(x = {{k\pi } \over 2}, x = - {\pi \over 6} + 2k\pi ,\)\(x = {{7\pi } \over 6} + 2k\pi \).
Câu f
\(\sqrt 2 {\sin ^3}\left( {x + {\pi \over 4}} \right) = 2\sin x\)Lời giải chi tiết:
Do \(\sqrt 2 \sin \left( {x + {\pi \over 4}} \right) = \sin x + \cos x\) nên phương trình đã cho có thể biến đổi như sau:
\(\sqrt 2 {\sin ^3}\left( {x + {\pi \over 4}} \right) = 2\sin x \)
\(\Leftrightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^3} = 4\sin x\)
Dễ thấy \(\cos x=0\) không thỏa mãn phương trình trên.
Với điều kiện \(\cos x \ne 0,\) ta chia hai vế của phương trình cho \({\cos ^3}x\ne 0\) ta được:
\(\begin{array}{l}
{\left({\sin x + \cos x} \right)^3} = 4\sin x\\
\Leftrightarrow \frac{{{{\left({\sin x + \cos x} \right)}^3}}}{{{{\cos }^3}x}} = \frac{{4\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}\\
\Leftrightarrow {\left({\frac{{\sin x + \cos x}}{{\cos x}}} \right)^3} = \frac{{4\sin x}}{{\cos x}}.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\
\Leftrightarrow {\left({\tan x + 1} \right)^3} = 4\tan x\left({1 + {{\tan }^2}x} \right)\\
\Leftrightarrow {\tan ^3}x + 3{\tan ^2}x + 3\tan x + 1 = 4\tan x + 4{\tan ^3}x\\
\Leftrightarrow 3{\tan ^3}x - 3{\tan ^2}x + \tan x - 1 = 0\\
\Leftrightarrow 3{\tan ^2}x\left({\tan x - 1} \right) + \left({\tan x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left({\tan x - 1} \right)\left({3{{\tan }^2}x + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \tan x - 1 = 0 \left({do 3{{\tan }^2}x + 1 > 0} \right)\\
\Leftrightarrow \tan x = 1\\
\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi
\end{array}\)
Vậy \(x = {\pi \over 4} + k\pi \).
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!