Bài 1.4 trang 16 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Phương pháp giải
- Từ hệ thức lượng giác cơ bản là mối liên hệ giữa hai giá trị lượng giác, khi biết một giá trị ta sẽ suy ra được giá trị còn lại. Cần lưu ý tới dấu của giá trị lượng giác.
- Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ trong đại số.
Lời giải chi tiết
a) Vì $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ nên $\sin \alpha >0$. Mặt khác, từ ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ suy ra
$\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^{2}a}=\sqrt{1-\frac{1}{25}}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$
Do đó, $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{2\sqrt{6}}{5}}{\frac{1}{5}}=2\sqrt{6}$ và $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\frac{1}{5}}{\frac{2\sqrt{6}}{5}}=\frac{\sqrt{6}}{12}$
b) Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha <0$. Mặt khác, từ ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ suy ra
$\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^{2}a}=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$
Do đó, $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{\sqrt{5}}{3}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$ và $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{-\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$
c) Ta có: $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{\sqrt{5}}$
Ta có: ${\tan }^2\alpha +1=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{1}{{\tan }^2\alpha +1}=\frac{1}{6}\Rightarrow \cos \alpha =\pm \frac{1}{\sqrt{6}}$
Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}\Rightarrow \sin \alpha <0$ và $\cos \alpha <0\Rightarrow \cos \alpha =-\frac{1}{\sqrt{6}}$
Ta có: $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\Rightarrow \sin \alpha =\tan \alpha .\cos \alpha =\sqrt{5}.(-\frac{1}{\sqrt{6}})=-\sqrt{\frac{5}{6}}$
d) Vì $\cot \alpha =-\frac{1}{\sqrt{2}}$ nên $\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }=-\sqrt{2}$
Ta có: ${\cot }^2\alpha +1=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{1}{{\cot }^2\alpha +1}=\frac{2}{3}\Rightarrow \sin \alpha =\pm \sqrt{\frac{2}{3}}$
Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi \Rightarrow \sin \alpha <0\Rightarrow \sin \alpha =-\sqrt{\frac{2}{3}}$
Ta có: $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\Rightarrow \cos \alpha =\cot \alpha .\sin \alpha =\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right).\left(-\sqrt{\frac{2}{3}}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$