Google
Câu hỏi: Cho hai đường tròn có cùng tâm \(O\), bán kính lần lượt là \(R\) và \(r,\left( {R > r} \right)\). \(A\) là một điểm thuộc đường tròn bán kính \(r\). Hãy dựng đường thẳng qua \(A\) cắt đường tròn bán kính \(r\) tại \(B\), cắt đường tròn bán kính \(R\) tại \(C, D\) sao cho \(CD = 3AB\)
Phương pháp giải
- Giả sử dụng được hai điểm \(C, D\) thỏa mãn bài toán.
- Sử dụng kiến thức hình học đã biết để suy ra cách dựng.
Lời giải chi tiết
Gọi \(\left( C \right)\) là đường tròn tâm \(O\) bán kính \(r\), \(\left( {{C_1}} \right)\) là đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\).
Giả sử đường thẳng đã dựng được. Khi đó \(DA = AB = BC\) nên \(D = {D_A}\left( B \right)\).
Mà \(B \in \left( C \right)\) nên \(D \in \left( {C'} \right)\) là ảnh của \(\left( C \right)\) qua phép đối xứng qua tâm \(A\).
Lại có \(D \in \left( C \right)\) (giả thiết) nên \(D = \left( {C'} \right) \cap \left({{C_1}} \right)\).
Từ đó ta có cách dựng:
+) Dựng ảnh \(\left( {C'} \right)\) của \(\left( C \right)\) qua phép đối xứng tâm \(A\).
+) Nếu \(\left( {C'} \right)\) không cắt \(\left( {{C_1}} \right)\) thì không có điểm \(C, D\) thỏa mãn bài toán.
+) Nếu \(\left( {C'} \right)\) tiếp xúc \(\left( {{C_1}} \right)\) tại duy nhất một điểm thì có một cặp điểm \(C, D\) thỏa mãn bài toán.
+) Nếu \(\left( {C'} \right)\) cắt \(\left( {{C_1}} \right)\) tại hai điểm phân biệt thì có hai cặp điểm \(C, D\) thỏa mãn bài toán.
- Giả sử dụng được hai điểm \(C, D\) thỏa mãn bài toán.
- Sử dụng kiến thức hình học đã biết để suy ra cách dựng.
Lời giải chi tiết
Gọi \(\left( C \right)\) là đường tròn tâm \(O\) bán kính \(r\), \(\left( {{C_1}} \right)\) là đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\).
Giả sử đường thẳng đã dựng được. Khi đó \(DA = AB = BC\) nên \(D = {D_A}\left( B \right)\).
Mà \(B \in \left( C \right)\) nên \(D \in \left( {C'} \right)\) là ảnh của \(\left( C \right)\) qua phép đối xứng qua tâm \(A\).
Lại có \(D \in \left( C \right)\) (giả thiết) nên \(D = \left( {C'} \right) \cap \left({{C_1}} \right)\).
Từ đó ta có cách dựng:
+) Dựng ảnh \(\left( {C'} \right)\) của \(\left( C \right)\) qua phép đối xứng tâm \(A\).
+) Nếu \(\left( {C'} \right)\) không cắt \(\left( {{C_1}} \right)\) thì không có điểm \(C, D\) thỏa mãn bài toán.
+) Nếu \(\left( {C'} \right)\) tiếp xúc \(\left( {{C_1}} \right)\) tại duy nhất một điểm thì có một cặp điểm \(C, D\) thỏa mãn bài toán.
+) Nếu \(\left( {C'} \right)\) cắt \(\left( {{C_1}} \right)\) tại hai điểm phân biệt thì có hai cặp điểm \(C, D\) thỏa mãn bài toán.