Google
Câu hỏi: Cho hàm số \(y = f({x}) = 4 - \dfrac{2}{5}x\) với \(x \in R\).
Chứng minh rằng hàm số đã cho nghịch biến trên R.
Chứng minh rằng hàm số đã cho nghịch biến trên R.
Phương pháp giải
- Tìm tập xác định (TXĐ) D của hàm số.
- Giả sử \({x_1} < {x_2}\) với (\({x_1};{x_2} \in D\)). Xét hiệu \(f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right).\)
+ Nếu \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) < 0\) hay \(f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\) thì hàm số đồng biến trên D.
+ Nếu \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) > 0\) hay \(f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\) thì hàm số nghịch biến trên D.
Lời giải chi tiết
Với \({x_1};{x_2}\) là hai giá trị bất kì của \(x\) thuộc \(\mathbb R,\) ta có:
\(y_1 = f({x_1}) = 4 - \dfrac{2}{5}{x_1}\);
\(y_2 = f({x_2}) = 4 - \dfrac{2}{5}{x_2}\).
Nếu \({x_1} < {x_2}\) thì \({x_2} - {x_1} >0\). Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}
{y_1} - {y_2} = (4 - \dfrac{2}{5}{x_1}) - (4 - \dfrac{2}{5}{x_2})\\= 4 - \dfrac{2}{5}{x_1}- 4 + \dfrac{2}{5}{x_2}\\= \dfrac{2}{5}{x_2}- \dfrac{2}{5}{x_1}\\
= \dfrac{2}{5}({x_2} - {x_1}) > 0.
\end{array}\)
Suy ra \({y_1} > {y_2}.\)
Vậy hàm số đã cho là hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R.\)
- Tìm tập xác định (TXĐ) D của hàm số.
- Giả sử \({x_1} < {x_2}\) với (\({x_1};{x_2} \in D\)). Xét hiệu \(f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right).\)
+ Nếu \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) < 0\) hay \(f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\) thì hàm số đồng biến trên D.
+ Nếu \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) > 0\) hay \(f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\) thì hàm số nghịch biến trên D.
Lời giải chi tiết
Với \({x_1};{x_2}\) là hai giá trị bất kì của \(x\) thuộc \(\mathbb R,\) ta có:
\(y_1 = f({x_1}) = 4 - \dfrac{2}{5}{x_1}\);
\(y_2 = f({x_2}) = 4 - \dfrac{2}{5}{x_2}\).
Nếu \({x_1} < {x_2}\) thì \({x_2} - {x_1} >0\). Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}
{y_1} - {y_2} = (4 - \dfrac{2}{5}{x_1}) - (4 - \dfrac{2}{5}{x_2})\\= 4 - \dfrac{2}{5}{x_1}- 4 + \dfrac{2}{5}{x_2}\\= \dfrac{2}{5}{x_2}- \dfrac{2}{5}{x_1}\\
= \dfrac{2}{5}({x_2} - {x_1}) > 0.
\end{array}\)
Suy ra \({y_1} > {y_2}.\)
Vậy hàm số đã cho là hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R.\)