Với $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $C_{n}^{1}+C_{n}^{2}=55,$ số hạng khôngchứa $x$ trong khai triển của biểu thức ${{\left(...

*) Xét phương trình $C_{n}^{1}+C_{n}^{2}=55$
Điều kiện $\left\{ \begin{aligned}
& n\in \mathbb{N} \\
& n\ge 2 \\
\end{aligned} \right..$
$C_{n}^{1}+C_{n}^{2}=55\Leftrightarrow \dfrac{n!}{\left( n-1 \right)!}+\dfrac{n!}{\left( n-2 \right)!2!}=55$
$\Leftrightarrow n+\dfrac{n\left( n-1 \right)}{2}=55$
$\Leftrightarrow {{n}^{2}}+n-110=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& n=-11 \\
& n=10 \\
\end{aligned} \right.$
Với điều kiện $n\ge 2$ ta chỉ chọn $n=10,$ khi đó ${{\left( {{x}^{3}}+\dfrac{2}{{{x}^{2}}} \right)}^{n}}={{\left( {{x}^{3}}+\dfrac{2}{{{x}^{2}}} \right)}^{10}}$
*) Số hạng tổng quát trong khai triền ${{\left( {{x}^{3}}+\dfrac{2}{{{x}^{2}}} \right)}^{10}}$ là: $C_{10}^{k}{{x}^{3\left( 10-k \right)}}.\dfrac{{{2}^{k}}}{{{x}^{2k}}}=C_{10}^{k}{{.2}^{k}}.{{x}^{30-5k}}.$
Số hạng không chứa $x$ ứng với $30-5k=0\Leftrightarrow k=6.$
Số hạng cần tìm là $C_{10}^{6}{{2}^{6}}=13440.$