Google
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $(P): a x+b y+c z-27=0$ qua hai điểm $A(3 ; 2 ; 1) ; B(-3 ; 5 ; 2)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q): 3 x+y+z+4=0$. Tính tổng $S=a+b+c$.
A. $S=-12$
B. $S=-4$
C. $S=-2$
D. $S=2$
A. $S=-12$
B. $S=-4$
C. $S=-2$
D. $S=2$
Phương pháp giải:
Mặt phẳng $(P): a x+b y+c z+d=0$ đi qua điểm $M\left(x_{0} ; y_{0} ; z_{0}\right)$ nếu $(P): a x_{0}+b y_{0}+c z_{0}+d=0$
Nếu mặt phẳng $(P): a x+b y+c z+d=0$ vuông góc với mặt phẳng $(Q): a^{\prime} x+b^{\prime} y+c^{\prime} z+d^{\prime}=0$ thì $a a^{\prime}+b b^{\prime}+c c^{\prime}=0$ .
Giải chi tiết:
Theo giả thiết:
$+(P)$ đi qua điểm $A(3 ; 2 ; 1)$ nên ta có: $3 a+2 b+c-27=0$ (1)
$+(P)$ đi qua điểm $B(-3 ; 5 ; 2)$ nên ta có: $-3 a+5 b+2 c-27=0$ (2)
$+(P) \perp(Q)$ nên $3 a+b+c=0 \quad(3)$
Từ $(1),(2)$ và $(3)$ ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}3 a+2 b+c-27=0 \\ -3 a+5 b+2 c-27=0 \\ 3 a+b+c=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=6 \\ b=27 \\ c=-45\end{array}\right.\right.$
Khi đó, $a=6 ; b=27 ; c=-45$
Vậy $S=a+b+c=6+27-45=-12$
Mặt phẳng $(P): a x+b y+c z+d=0$ đi qua điểm $M\left(x_{0} ; y_{0} ; z_{0}\right)$ nếu $(P): a x_{0}+b y_{0}+c z_{0}+d=0$
Nếu mặt phẳng $(P): a x+b y+c z+d=0$ vuông góc với mặt phẳng $(Q): a^{\prime} x+b^{\prime} y+c^{\prime} z+d^{\prime}=0$ thì $a a^{\prime}+b b^{\prime}+c c^{\prime}=0$ .
Giải chi tiết:
Theo giả thiết:
$+(P)$ đi qua điểm $A(3 ; 2 ; 1)$ nên ta có: $3 a+2 b+c-27=0$ (1)
$+(P)$ đi qua điểm $B(-3 ; 5 ; 2)$ nên ta có: $-3 a+5 b+2 c-27=0$ (2)
$+(P) \perp(Q)$ nên $3 a+b+c=0 \quad(3)$
Từ $(1),(2)$ và $(3)$ ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}3 a+2 b+c-27=0 \\ -3 a+5 b+2 c-27=0 \\ 3 a+b+c=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=6 \\ b=27 \\ c=-45\end{array}\right.\right.$
Khi đó, $a=6 ; b=27 ; c=-45$
Vậy $S=a+b+c=6+27-45=-12$
Đáp án A.