Google
Câu hỏi: Trên một bề mặt chất lỏng, tại hai điểm $A$ và $B$ có hai nguồn điểm, phát ra sóng kết hợp cùng pha nhau theo phương thẳng đứng với bước sóng $\lambda $. Biết $AB=6,3\lambda $. Gọi $(C)$ là đường tròn nằm trên mặt nước với $AB$ là đường kính; $M$ là một điểm dao động với biên độ cực đại, cùng pha với nguồn nằm bên trong $(C)$. Khoảng cách lớn nhất từ $M$ đến trung trực của $AB$ là
A. $2,78\lambda $.
B. $2,84\lambda $.
C. $2,96\lambda $.
D. $3,02\lambda $.
Để đơn giản, ta chọn $\lambda =1$. Vì tính đối xứng, ta chỉ xét các điểm thuộc phần tư thứ nhất của đường tròn.
Ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& AM-BM=k \\
& M+BM=n \\
\end{aligned} \right. $ (1) (điều kiện cực đại cùng pha); $ n $, $ k$ cùng tính chất chẵn lẻ.
$\dfrac{AB}{\lambda }=\dfrac{\left( 6,3 \right)}{\left( 1 \right)}=6,3$ → $k=1,2,...6$ (2).
$AM+BM>AB=6,3$ (điều kiện để $M$ nằm ngoài $AB$ ) → $n\ge 7$ (3)
$A{{M}^{2}}+B{{M}^{2}}<A{{B}^{2}}$ (4) (điều kiện để $M$ nằm trong đường tròn).
Từ (1) và (4), ta có ${{k}^{2}}+{{n}^{2}}<2{{\left( AB \right)}^{2}}=2{{\left( 6,3 \right)}^{2}}=79,38$.
Để $M$ xa trung trực của $AB$ nhất thì nó phải nằm trên các cực đại bậc cao, do đó ta sẽ xét từ $k=6$ vào trong.
$k=6$ → $n=8,10,12..$ khi đó ${{k}^{2}}+{{n}^{2}}>79,36$ → trên dãy cực đại này không có điểm nào cùng pha với nguồn nằm trong đường tròn.
$k=5$ → $n=7,9$, tuy nhiên $n=9$ thì ${{\left( 5 \right)}^{2}}+{{\left( 9 \right)}^{2}}>79,48$ → do vậy để $n=7$ là thõa mãn.
→ ${{d}_{1}}=\dfrac{\left( 7 \right)+\left( 5 \right)}{2}=6$, ${{d}_{2}}=\dfrac{\left( 7 \right)-\left( 5 \right)}{2}=1$.
Từ hình vẽ, ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& d_{1}^{2}={{h}^{2}}+{{x}^{2}} \\
& d_{2}^{2}={{h}^{2}}+{{\left( 6,3-x \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right. $ → $ {{\left( 6 \right)}^{2}}-{{\left( 1 \right)}^{2}}={{x}^{2}}-{{\left( 6,3-x \right)}^{2}}$
→ $x=5,928$ → $d=x-\dfrac{AB}{2}=\left( 5,928 \right)-\left( \dfrac{6,3}{2} \right)=2,778$.
A. $2,78\lambda $.
B. $2,84\lambda $.
C. $2,96\lambda $.
D. $3,02\lambda $.
Để đơn giản, ta chọn $\lambda =1$. Vì tính đối xứng, ta chỉ xét các điểm thuộc phần tư thứ nhất của đường tròn.
Ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& AM-BM=k \\
& M+BM=n \\
\end{aligned} \right. $ (1) (điều kiện cực đại cùng pha); $ n $, $ k$ cùng tính chất chẵn lẻ.
$\dfrac{AB}{\lambda }=\dfrac{\left( 6,3 \right)}{\left( 1 \right)}=6,3$ → $k=1,2,...6$ (2).
$AM+BM>AB=6,3$ (điều kiện để $M$ nằm ngoài $AB$ ) → $n\ge 7$ (3)
$A{{M}^{2}}+B{{M}^{2}}<A{{B}^{2}}$ (4) (điều kiện để $M$ nằm trong đường tròn).
Từ (1) và (4), ta có ${{k}^{2}}+{{n}^{2}}<2{{\left( AB \right)}^{2}}=2{{\left( 6,3 \right)}^{2}}=79,38$.
Để $M$ xa trung trực của $AB$ nhất thì nó phải nằm trên các cực đại bậc cao, do đó ta sẽ xét từ $k=6$ vào trong.
$k=6$ → $n=8,10,12..$ khi đó ${{k}^{2}}+{{n}^{2}}>79,36$ → trên dãy cực đại này không có điểm nào cùng pha với nguồn nằm trong đường tròn.
$k=5$ → $n=7,9$, tuy nhiên $n=9$ thì ${{\left( 5 \right)}^{2}}+{{\left( 9 \right)}^{2}}>79,48$ → do vậy để $n=7$ là thõa mãn.
→ ${{d}_{1}}=\dfrac{\left( 7 \right)+\left( 5 \right)}{2}=6$, ${{d}_{2}}=\dfrac{\left( 7 \right)-\left( 5 \right)}{2}=1$.
Từ hình vẽ, ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& d_{1}^{2}={{h}^{2}}+{{x}^{2}} \\
& d_{2}^{2}={{h}^{2}}+{{\left( 6,3-x \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right. $ → $ {{\left( 6 \right)}^{2}}-{{\left( 1 \right)}^{2}}={{x}^{2}}-{{\left( 6,3-x \right)}^{2}}$
→ $x=5,928$ → $d=x-\dfrac{AB}{2}=\left( 5,928 \right)-\left( \dfrac{6,3}{2} \right)=2,778$.
Đáp án A.