Tổng tất cả các giá trị nguyên của $m$ để đồ thị hàm số $y=\dfrac{20+\sqrt{6x-{{x}^{2}}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-8x+2m}}$ có đúng hai đường tiệm cận đứng là

Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& 6x-{{x}^{2}}\ge 0\left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}-8x+2m>0 \\
\end{aligned} \right.$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow 0\le x\le 6.$
Để đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng thì phương trình $f\left( x \right)={{x}^{2}}-8x+2m=0$ có 2 nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa $0\le {{x}_{1}}<{{x}_{2}}\le 6.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta '\ge 0 \\
& a.f\left( 0 \right)\ge 0 \\
& a.f\left( 6 \right)\ge 0 \\
& \dfrac{S}{2}>0 \\
& \dfrac{S}{2}<6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 16-2m>0 \\
& 2m\ge 0 \\
& 36-48+2m\ge 0 \\
& \dfrac{8}{2}>0 \\
& \dfrac{8}{2}<6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 6\le m<8.$
Vì $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 6;7 \right\}.$ Vậy tổng các giá trị nguyên $m$ là 6 + 7 = 13.