Tồn tại bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số $y=\dfrac{x-2}{x-m}$ đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ; -1 \right)$.

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}.$
Ta có $y'=\dfrac{-m+2}{{{\left( x-m \right)}^{2}}}.$
Hàm số $y=\dfrac{x-2}{x-m}$ đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& y'<0 \\
& m\notin \left( -\infty ;-1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -m+2>0 \\
& m\ge -1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<2 \\
& m\ge -1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -1\le m<2. $ Mặt khác $ m\in \mathbb{Z} $ nên $ m\in \left\{ -1;0;1 \right\}.$