Tính tổng các giá trị nguyên của tham số m trên $[-20;20]$ để hàm số $y={\displaystyle \frac{\sin x+m}{\sin x-1}}$ nghịch biến trên khoảng $\left(...

Phương pháp giải:
- Đặt $t=\sin x$, xét trên khoảng $x\in ({\displaystyle \frac{\pi }{2}};\pi )$, tìm khoảng giá trị tương ứng của t, xét xem t có cùng tính tăng giảm với x hay không.
- Đưa bài toán về dạng tìm m để hàm số $y=f\left(t\right)$ đơn điệu trên khoảng cho trước.
Giải chi tiết:
Đặt $t=\sin x$, với $x\in ({\displaystyle \frac{\pi }{2}};\pi )$ thì t giảm từ 1 về 0.
Khi đó bài toán trở thành: Tìm m để hàm số $y={\displaystyle \frac{t+m}{t-1}}$ đồng biến trên $(0;1)$ (*).
TXĐ: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{1\right\}\Rightarrow$ Hàm số đã cho xác định trên $(0;1)$. Ta có $y^{\prime }={\displaystyle \frac{-1-m}{{(t-1)}^2}}$.
Do đó $(\ast )\iff {\displaystyle \frac{-1-m}{{(t-1)}^2}}>0\iff -1-m>0\iff m<-1$.
Kết hợp điều kiện đề bài ta có $-20\le m<-1,m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{-20;-19;-18;...;-2\}$.
Vậy tổng các giá trị của m thỏa mãn là $-20-19-18-...-2=-209$.