Tính tổng các giá trị nguyên của tham số m trên $\left[ -20;20 \right]$ để hàm số $y=\dfrac{\sin x+m}{\sin x-1}$ nghịch biến trên khoảng $\left(...

Phương pháp giải:
- Đặt $t=\sin x$, xét trên khoảng $x\in \left( \dfrac{\pi }{2};\pi \right)$, tìm khoảng giá trị tương ứng của t, xét xem t có cùng tính tăng giảm với x hay không.
- Đưa bài toán về dạng tìm m để hàm số $y=f\left( t \right)$ đơn điệu trên khoảng cho trước.
Giải chi tiết:
Đặt $t=\sin x$, với $x\in \left( \dfrac{\pi }{2};\pi \right)$ thì t giảm từ 1 về 0.
Khi đó bài toán trở thành: Tìm m để hàm số $y=\dfrac{t+m}{t-1}$ đồng biến trên $\left( 0;1 \right)$ (*).
TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\Rightarrow $ Hàm số đã cho xác định trên $\left( 0;1 \right)$. Ta có ${y}'=\dfrac{-1-m}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}$.
Do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow \dfrac{-1-m}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}>0\Leftrightarrow -1-m>0\Leftrightarrow m<-1$.
Kết hợp điều kiện đề bài ta có $-20\le m<-1,m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -20;-19;-18;...;-2 \right\}$.
Vậy tổng các giá trị của m thỏa mãn là $-20-19-18-...-2=-209$.