Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ tứ giác đều $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ biết độ dài cạnh đáy của lăng trụ bằng $2$ đồng thời góc tạo bởi $A^{\prime }C$...

Vì $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là khối trụ tứ giác đều nên đáy là hình vuông và cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
Hình chiếu của $A^{\prime }C$ trên mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ là $AC.$
$\Rightarrow \widehat{(A^{\prime }C;\left(ABCD\right))}=\widehat{(A^{\prime }C;AC)}=\widehat{A^{\prime }CA}={30}^0.$
Trong tam giác vuông $A^{\prime }AC$ có $AC=AB\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
$A^{\prime }A=AC.\tan {30}^0={\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{3}}$
$S_{ABCD}=A{B}^2=4$
Thể tích $V$ của khối lăng trụ tứ giác đều $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là $V=S_{ABCD}.A^{\prime }A={\displaystyle \frac{8\sqrt{6}}{3}}.$