Tính $a+b$ biết $\left[ a;b \right]$ là tập hợp tất cả các giá trị...

Xét bất phương trình ${{\log }_{2}}\sqrt{{{x}^{2}}-2x+m}+4\sqrt{{{\log }_{4}}\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)}\le 5 \left( 1 \right)$
Ta có $\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\sqrt{{{x}^{2}}-2x+m}+4\sqrt{{{\log }_{2}}\sqrt{{{x}^{2}}-2x+m}}\le 5 \left( 2 \right)$
Điều kiện $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-2x+m<0 \\
& {{\log }_{2}}\sqrt{{{x}^{2}}-2x+m}\ge 0 \\
\end{aligned} \right. \left( * \right)$
Đặt $t=\sqrt{{{\log }_{2}}\sqrt{{{x}^{2}}-2x+m}}$, bất phương trình $\left( 2 \right)$ trở thành
${{t}^{2}}+4t-5\le 0\Leftrightarrow -5\le t\le 1$.
Do đó $\begin{aligned}
& \left( 2 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \sqrt{{{\log }_{2}}\sqrt{{{x}^{2}}-2x+m}}\le 1 \\
& \sqrt{{{\log }_{2}}\sqrt{{{x}^{2}}-2x+m}}\ge -5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{2}}\sqrt{{{x}^{2}}-2x+m}\le 1 \\
& {{\log }_{2}}\sqrt{{{x}^{2}}-2x+m}\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \sqrt{{{x}^{2}}-2x+m}\le 2 \\
& \sqrt{{{x}^{2}}-2x+m}\ge 1 \\
\end{aligned} \right. \\
& \\
\end{aligned} $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-2x+m\le 4 \\
& {{x}^{2}}-2x+m\ge 1 \\
\end{aligned} \right. $ $ \left( 3 \right)$
Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{2}}-2x+m$ trên $\left[ 0;2 \right]$, ta có bảng biến thiên của $f\left( x \right)$ như sau
Từ bảng biến thiên ta có, hệ $\left( 3 \right)$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left[ 0;2 \right]$ khi và chỉ khi
$\left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=m\le 4 \\
& \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=-1+m\ge 1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 2\le m\le 4$.
Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& b=4 \\
\end{aligned} \right. $, vậy $ a+b=6$.