Tính $a+b$ biết $[a;b]$ là tập hợp tất cả các giá trị...

Xét bất phương trình ${\log }_2\sqrt{x^2-2x+m}+4\sqrt{{\log }_4(x^2-2x+m)}\le 5\left(1\right)$
Ta có $\left(1\right)\iff {\log }_2\sqrt{x^2-2x+m}+4\sqrt{{\log }_2\sqrt{x^2-2x+m}}\le 5\left(2\right)$
Điều kiện $\{\begin{array}{rl}& x^2-2x+m<0\\ & {\log }_2\sqrt{x^2-2x+m}\ge 0\end{array}(\ast )$
Đặt $t=\sqrt{{\log }_2\sqrt{x^2-2x+m}}$, bất phương trình $\left(2\right)$ trở thành
$t^2+4t-5\le 0\iff -5\le t\le 1$.
Do đó $\begin{array}{rl}& \left(2\right)\iff \{\begin{array}{rl}& \sqrt{{\log }_2\sqrt{x^2-2x+m}}\le 1\\ & \sqrt{{\log }_2\sqrt{x^2-2x+m}}\ge -5\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& {\log }_2\sqrt{x^2-2x+m}\le 1\\ & {\log }_2\sqrt{x^2-2x+m}\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& \sqrt{x^2-2x+m}\le 2\\ & \sqrt{x^2-2x+m}\ge 1\end{array}\\ & \end{array}$ $\iff \{\begin{array}{rl}& x^2-2x+m\le 4\\ & x^2-2x+m\ge 1\end{array}$ $\left(3\right)$
Xét hàm số $f\left(x\right)=x^2-2x+m$ trên $[0;2]$, ta có bảng biến thiên của $f\left(x\right)$ như sau
Từ bảng biến thiên ta có, hệ $\left(3\right)$ nghiệm đúng với mọi $x\in [0;2]$ khi và chỉ khi
$\{\begin{array}{rl}& \underset{[0;2]}{max}f\left(x\right)=m\le 4\\ & \underset{[0;2]}{min}f\left(x\right)=-1+m\ge 1\end{array}\iff 2\le m\le 4$.
Suy ra $\{\begin{array}{rl}& a=2\\ & b=4\end{array}$, vậy $a+b=6$.