Tìm tất cả giá trị của tham số $m$ để phương trình $x^{3} - 3 x^{2} - m^{3} + 3 m^{2} = 0$ có ba nghiệm phân biệt?

The Collectors · 29/5/21

Câu hỏi: Tìm tất cả giá trị của tham số

m

để phương trình

x^{3} - 3 x^{2} - m^{3} + 3 m^{2} = 0

có ba nghiệm phân biệt?
A.

{\begin{aligned} - 1 < m < 3 \\ m \neq 0 \land m \neq 2 \end{aligned} .

B.

{\begin{aligned} - 1 < m < 3 \\ m \neq 0 \end{aligned} .

C.

{\begin{aligned} - 3 < m < 1 \\ m \neq - 2 \end{aligned} .

D.

- 3 < m < 1.

Phương trình

x^{3} - 3 x^{2} - m^{3} + 3 m^{2} = 0 \Leftrightarrow m^{3} - 3 m^{2} = x^{3} - 3 x^{2} = f (x) .

Ta có

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x .

Xét

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = 0 \\ x = 2 \end{aligned} .

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

- 4 < m^{3} - 3 m^{2} < 0 \Leftrightarrow {\begin{aligned} m^{3} - 3 m^{2} + 4 > 0 \\ m^{3} - 3 m^{2} < 0 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} - 1 < m, m \neq 2 \\ m < 3, m \neq 0 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} - 1 < m < 3 \\ m \neq 0 \land m \neq 2 \end{aligned} .

Vậy

{\begin{aligned} - 1 < m < 3 \\ m \neq 0 \land m \neq 2 \end{aligned}

thỏa yêu cầu bài toán.

Đáp án A.

Tìm tất cả giá trị của tham số m để phương trình x3−3x2−m3+3m2=0 có ba nghiệm phân biệt?