Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho đồ thị hàm số $y={\displaystyle \frac{\sqrt{x-1}+2021}{\sqrt{x^2-2mx+m+2}}}$ có đúng ba đường tiệm cận.

Ta có $\mathrm{\exists }\underset{x\Rightarrow -\mathrm{\infty }}{lim}y$ và $\underset{x\Rightarrow +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\Rightarrow +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{\sqrt{x-1}+2021}{\sqrt{x^2-2mx+m+2}}}=\underset{x\Rightarrow +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}}+{\displaystyle \frac{2021}{x}}}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{2m}{x}}+{\displaystyle \frac{m+2}{x^2}}}}}=0.$
Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang có phương trình $y=0.$
Để đồ thị hàm số có đúng ba đường tiệm cận thì phương trình $x^2-2mx+m+2=0$ có đúng hai nghiệm phân biệt $x_1>x_2\ge 1$
$\iff \{\begin{array}{rl}& {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=m^2-m-2>0\\ & (x_1-1)(x_2-1)\ge 0\\ & x_1-1+x_2-1>0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& (m+1)(m-2)>0\\ & x_1{x}_2-(x_1+x_2)+1\ge 0\\ & x_1+x_2>2\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& (m+1)(m-2)>0\\ & m+2-2m+1\ge 0\\ & 2m>2\end{array}\iff 2<m\le 3.$
Vậy các giá trị $2<m\le 3$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.