Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho đồ thị hàm số $y=\dfrac{\sqrt{x-1}+2021}{\sqrt{{{x}^{2}}-2mx+m+2}}$ có đúng ba đường tiệm cận.

Ta có $\exists \underset{x\Rightarrow -\infty }{\mathop{\lim }} y$ và $\underset{x\Rightarrow +\infty }{\mathop{\lim }} y=\underset{x\Rightarrow +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{\sqrt{x-1}+2021}{\sqrt{{{x}^{2}}-2mx+m+2}}=\underset{x\Rightarrow +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}+\dfrac{2021}{x}}{\sqrt{1-\dfrac{2m}{x}+\dfrac{m+2}{{{x}^{2}}}}}=0.$
Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang có phương trình $y=0.$
Để đồ thị hàm số có đúng ba đường tiệm cận thì phương trình ${{x}^{2}}-2mx+m+2=0$ có đúng hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}>{{x}_{2}}\ge 1$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta '={{m}^{2}}-m-2>0 \\
& \left( {{x}_{1}}-1 \right)\left( {{x}_{2}}-1 \right)\ge 0 \\
& {{x}_{1}}-1+{{x}_{2}}-1>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left( m+1 \right)\left( m-2 \right)>0 \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}-\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+1\ge 0 \\
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}>2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left( m+1 \right)\left( m-2 \right)>0 \\
& m+2-2m+1\ge 0 \\
& 2m>2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 2<m\le 3.$
Vậy các giá trị $2<m\le 3$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.